Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · 2020

Un protón penetra en el interior de un campo magnético con una velocidad perpendicular a la dirección de dicho campo. Si la intensidad de campo magnético es 10 T y su velocidad es $3\cdot {10}^6\text{ m/s}$. Calcule:

a) La fuerza que se ejerce sobre él. [1 punto]

b) El radio de la trayectoria que describe. [1 punto]

Datos: masa del protón: $\mathrm{1,67}\cdot {10}^{-27}\text{ kg}$; carga del protón: $\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\text{ C}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{fuerza}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{ejerce}}\mathbf{\text{sobre}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{l.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$










La fuerza que un campo magnético ejerce sobre una carga en movimiento es la fuerza de Lorentz:

$\vec{F}=q(\vec{v}\times \vec{B})$

cuyo módulo vale:

$F=\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }vB\sin \phi$

Como la velocidad es perpendicular al campo, $\phi ={90}^{\circ }$ y el seno vale la unidad.





Se sustituyen los datos:

$F=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\cdot 3\cdot {10}^6\cdot 10$

$F=\mathrm{4,8}\cdot {10}^{-12}\text{ N}$

La fuerza que se ejerce sobre el protón es $\mathrm{4,8}\cdot {10}^{-12}\text{ N}$, perpendicular en todo momento a la velocidad y al campo.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{radio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{trayectoria}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{describe.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Al ser la fuerza siempre perpendicular a la velocidad, no realiza trabajo y no cambia el módulo de la velocidad, solo su dirección: actúa como fuerza centrípeta y el protón describe una circunferencia con movimiento uniforme.

Se iguala la fuerza magnética a la centrípeta:

$\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }vB={\displaystyle \frac{m{v}^2}{r}}$

Se simplifica una velocidad y se despeja el radio:

$r={\displaystyle \frac{mv}{\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }B}}$

$r={\displaystyle \frac{\mathrm{1,67}\cdot {10}^{-27}\cdot 3\cdot {10}^6}{\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\cdot 10}}={\displaystyle \frac{\mathrm{5,01}\cdot {10}^{-21}}{\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-18}}}$

$r=\mathrm{3,13}\cdot {10}^{-3}\text{ m}$

El radio de la trayectoria es $\mathrm{3,13}\cdot {10}^{-3}\text{ m}$, algo más de 3 milímetros.

Conviene notar que el radio es proporcional a la masa de la partícula: un electrón, con la misma velocidad y en el mismo campo, describiría una circunferencia unas 1800 veces menor. Ese es el principio del espectrómetro de masas.