Ejercicio resuelto de Física relativista · Física · 2024

Indica si la siguiente afirmación es cierta o falsa, razonando la respuesta: «Para que la longitud de una barra se reduzca a la mitad debe viajar a una velocidad de $\mathrm{0,866}c$». [2 puntos]

La afirmación es CIERTA.

Por el postulado de la contracción de las longitudes, una barra que se mueve con velocidad $v$ respecto de un observador tiene para él una longitud menor que su longitud propia $L_0$:

$L={\displaystyle \frac{L_0}{\gamma }}=L_0\sqrt{1-{\displaystyle \frac{v^2}{c^2}}}$

Se impone la condición del enunciado, que la longitud medida sea la mitad de la propia:

$L={\displaystyle \frac{L_0}{2}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{L_0}{2}}=L_0\sqrt{1-{\displaystyle \frac{v^2}{c^2}}}$

Se simplifica $L_0$ y se eleva al cuadrado:

${\displaystyle \frac{1}{4}}=1-{\displaystyle \frac{v^2}{c^2}}$

Se despeja la velocidad:

${\displaystyle \frac{v^2}{c^2}}=1-{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$

${\displaystyle \frac{v}{c}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{3}{4}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}=\mathrm{0,866}$

$v=\mathrm{0,866}c=\mathrm{2,60}\cdot {10}^8\text{ m/s}$

Es decir, el factor de Lorentz vale exactamente $\gamma =2$, que es lo que hace falta para que la longitud se reduzca a la mitad.

La afirmación es cierta: la barra debe viajar a $\mathrm{0,866}c$ respecto del observador para que este le mida la mitad de su longitud propia.