Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2021

En una fábrica de vidrios el 25 % de las botellas que se producen son grandes, el 40 % medianas y el resto pequeñas. En un control de calidad, se detecta que el 1 % de las botellas grandes, el 2 % de las medianas y el 3 % de las pequeñas son defectuosas. Se pide, razonando la respuesta:

a) Calcule la probabilidad de que una botella elegida al azar sea a la vez mediana y defectuosa. [1 punto]

b) Calcule la probabilidad de que una botella elegida al azar sea defectuosa. [1 punto]

Nombramos los sucesos:

$G\equiv$ la botella es grande,
$M\equiv$ la botella es mediana,
$P\equiv$ la botella es pequeña,
$D\equiv$ la botella es defectuosa.

Los tres tamaños forman un sistema completo de sucesos. Las pequeñas son el resto: $100-25-40=35$ %.



$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{botella}}\mathbf{\text{elegida}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{vez}}\mathbf{\text{mediana}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{defectuosa.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Se pide la probabilidad de una intersección, que se obtiene recorriendo la rama correspondiente del árbol.

$P(M\cap D)=P(M)\cdot P(D\mathrm{/}M)=\mathrm{0,40}\cdot \mathrm{0,02}=\mathrm{0,008}$

La probabilidad de que una botella sea mediana y defectuosa es $\mathrm{0,008}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{botella}}\mathbf{\text{elegida}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{defectuosa.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Como los tres tamaños forman un sistema completo de sucesos, se aplica el teorema de la probabilidad total: se suman las tres ramas del árbol que terminan en botella defectuosa.

$P(D)=P(G)\cdot P(D\mathrm{/}G)+P(M)\cdot P(D\mathrm{/}M)+P(P)\cdot P(D\mathrm{/}P)$

$P(D)=\mathrm{0,25}\cdot \mathrm{0,01}+\mathrm{0,40}\cdot \mathrm{0,02}+\mathrm{0,35}\cdot \mathrm{0,03}$

$P(D)=\mathrm{0,0025}+\mathrm{0,008}+\mathrm{0,0105}=\mathrm{0,021}$

La probabilidad de que una botella elegida al azar sea defectuosa es $\mathrm{0,021}$, es decir, el 2,1 %.