Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

Una biblioteca cuenta con 1.000 socios, de los cuales 350 son jóvenes, 400 adultos y 250 mayores. Encuestados sobre la puesta en marcha de un nuevo servicio, se muestran favorables 210 jóvenes, 300 adultos y 125 mayores. Se pide, justificando las respuestas:

a) Calcule la probabilidad de que un adulto sea contrario a la puesta en marcha del servicio. [1 punto]

b) Calcule la probabilidad de que un socio elegido al azar sea favorable a la puesta en marcha del servicio. [1 punto]

Nombramos los sucesos:

$J\equiv$ el socio es joven,
$A\equiv$ el socio es adulto,
$M\equiv$ el socio es mayor,
$F\equiv$ el socio es favorable al nuevo servicio.

Ordenamos los recuentos del enunciado en una tabla de contingencia.

$$	$\text{Favorables}$	$\text{Contrarios}$	$\text{Total}$ Jóvenes	210	140	350 Adultos	300	100	400 Mayores	125	125	250 Total	635	365	1000

Los tres grupos de edad forman un sistema completo de sucesos, y las probabilidades condicionadas salen de dividir cada fila por su total: $210\mathrm{/}350=\mathrm{0,6}$, $300\mathrm{/}400=\mathrm{0,75}$ y $125\mathrm{/}250=\mathrm{0,5}$.



$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{adulto}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{contrario}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{puesta}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{marcha}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{servicio.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Se pide una probabilidad condicionada al grupo de los adultos, de modo que el espacio se reduce a los 400 socios de ese grupo, de los que 300 son favorables y los 100 restantes contrarios.

$P(\bar{F}\mathrm{/}A)={\displaystyle \frac{P(A\cap \bar{F})}{P(A)}}={\displaystyle \frac{100\mathrm{/}1000}{400\mathrm{/}1000}}={\displaystyle \frac{100}{400}}$

$P(\bar{F}\mathrm{/}A)=\mathrm{0,25}$

La probabilidad de que un adulto sea contrario a la puesta en marcha del servicio es $\mathrm{0,25}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{socio}}\mathbf{\text{elegido}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{favorable}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{puesta}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{marcha}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{servicio.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Como los tres grupos de edad forman un sistema completo de sucesos, se aplica el teorema de la probabilidad total: se suman las tres ramas del árbol que terminan en un socio favorable.

$P(F)=P(J)\cdot P(F\mathrm{/}J)+P(A)\cdot P(F\mathrm{/}A)+P(M)\cdot P(F\mathrm{/}M)$

$P(F)=\mathrm{0,35}\cdot \mathrm{0,6}+\mathrm{0,4}\cdot \mathrm{0,75}+\mathrm{0,25}\cdot \mathrm{0,5}$

$P(F)=\mathrm{0,21}+\mathrm{0,3}+\mathrm{0,125}=\mathrm{0,635}$

El mismo resultado se obtiene de la última fila de la tabla: $635\mathrm{/}1000=\mathrm{0,635}$.

La probabilidad de que un socio elegido al azar sea favorable al nuevo servicio es $\mathrm{0,635}$.