Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2024

a) Se realizan dos muestreos aleatorios estratificados con afijación proporcional para una población dividida en cuatro estratos $E_1$, $E_2$, $E_3$ y $E_4$. En la primera muestra se han seleccionado 25 individuos de $E_1$ y 30 de $E_2$. En la segunda muestra se han seleccionado 80 individuos de $E_3$ y 100 de $E_4$. Sabiendo que el estrato $E_1$ tiene 500 individuos y que el $E_3$ tiene 400, determine el tamaño de cada estrato de la población y el tamaño de las muestras en cada estrato. (1,5 puntos)

b) Dada la población $\{-3,-1,2,5,7\}$, se consideran todas las muestras posibles de tamaño 2 obtenidas mediante muestreo aleatorio simple. Calcule la media y la varianza de la distribución de las medias muestrales. (1 punto)

En un muestreo estratificado con afijación proporcional, la fracción de muestreo

$f={\displaystyle \frac{n_i}{N_i}}={\displaystyle \frac{n}{N}}$

es la misma en todos los estratos, donde $N_i$ es el tamaño del estrato $i$ y $n_i$ el número de individuos que de él se eligen.

Con los datos de la primera muestra, en la que se conocen a la vez $n_1=25$ y $N_1=500$:

$f_1={\displaystyle \frac{25}{500}}={\displaystyle \frac{1}{20}}\Rightarrow N_2={\displaystyle \frac{n_2}{f_1}}=30\cdot 20=600$

Con los datos de la segunda muestra, en la que se conocen $n_3=80$ y $N_3=400$:

$f_2={\displaystyle \frac{80}{400}}={\displaystyle \frac{1}{5}}\Rightarrow N_4={\displaystyle \frac{n_4}{f_2}}=100\cdot 5=500$

El tamaño de la población es

$N=500+600+400+500=2000$

El tamaño de cada muestra se obtiene aplicando su fracción de muestreo al total.

$n^{(1)}=2000\cdot {\displaystyle \frac{1}{20}}=100n^{(2)}=2000\cdot {\displaystyle \frac{1}{5}}=400$

Repartimos cada muestra entre los cuatro estratos.

$\text{Estrato}$	$\text{Tama}\tilde{\text{n}}\text{o }{N}_i$	$\text{1.ª muestra}$	$\text{2.ª muestra}$
$E_1$	500	25	100
$E_2$	600	30	120
$E_3$	400	20	80
$E_4$	500	25	100
Total	$2000$	100	400

La población tiene 2 000 individuos, repartidos en estratos de 500, 600, 400 y 500. La primera muestra es de 100 individuos (25, 30, 20 y 25) y la segunda de 400 (100, 120, 80 y 100).

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Dada}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{poblaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">\{</mo><mo\; mathvariant="bold-italic">-</mo><mn\; mathvariant="bold">3</mn><mo\; separator="true">,</mo><mo\; mathvariant="bold-italic">-</mo><mn\; mathvariant="bold">1</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">2</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">5</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">7</mn><mo\; stretchy="false">\}</mo></mrow>}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{consideran}}\mathbf{\text{todas}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{muestras}}\mathbf{\text{posibles}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{2}}\mathbf{\text{obtenidas}}\mathbf{\text{mediante}}\mathbf{\text{muestreo}}\mathbf{\text{aleatorio}}\mathbf{\text{simple.}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{varianza}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distribuci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{medias}}\mathbf{\text{muestrales.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Calculamos primero los parámetros de la población.

$\mu ={\displaystyle \frac{-3-1+2+5+7}{5}}={\displaystyle \frac{10}{5}}=2$

${\sigma }^2={\displaystyle \frac{(-3-2{)}^2+(-1-2{)}^2+(2-2{)}^2+(5-2{)}^2+(7-2{)}^2}{5}}={\displaystyle \frac{25+9+0+9+25}{5}}={\displaystyle \frac{68}{5}}=\mathrm{13,6}$

En un muestreo aleatorio simple se extrae con reemplazamiento, así que con cinco elementos y muestras de tamaño 2 hay $5^2=25$ muestras posibles. Sus medias son:

$$	$-3$	$-1$	$2$	$5$	$7$
$-3$	$-3$	$-2$	$-\mathrm{0,5}$	$1$	$2$
$-1$	$-2$	$-1$	$\mathrm{0,5}$	$2$	$3$
$2$	$-\mathrm{0,5}$	$\mathrm{0,5}$	$2$	$\mathrm{3,5}$	$\mathrm{4,5}$
$5$	$1$	$2$	$\mathrm{3,5}$	$5$	$6$
$7$	$2$	$3$	$\mathrm{4,5}$	$6$	$7$

La distribución de las medias muestrales cumple

${\mu }_{\bar{X}}=\mu \text{y}{\sigma }_{\bar{X}}^2={\displaystyle \frac{{\sigma }^2}{n}}$

${\mu }_{\bar{X}}=2{\sigma }_{\bar{X}}^2={\displaystyle \frac{\mathrm{13,6}}{2}}=\mathrm{6,8}$

Se comprueba sumando las 25 medias de la tabla, cuyo total es $50$ y da media $2$.

La media de la distribución de las medias muestrales es $2$ y su varianza $\mathrm{6,8}$.