Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2024

La altura de un cierto tipo de plantas de maíz sigue una distribución Normal de media $145cm$ y desviación típica $22cm$.

a) ¿Qué porcentaje de plantas tiene una altura comprendida entre $135cm$ y $155cm$? (1 punto)

b) ¿Qué altura, como mínimo, debe tener una planta para estar entre el 50 % de las más altas? (0,5 puntos)

c) Se selecciona una muestra aleatoria de 16 plantas. Halle la probabilidad de que la altura media de las plantas de esta muestra esté comprendida entre $140cm$ y $151cm$. (1 punto)

Sea $X$ la altura de una planta, medida en centímetros. Por el enunciado, $X\sim N(145,22)$. Tipificamos la variable para poder usar la tabla de la $N(0,1)$.

$Z={\displaystyle \frac{X-\mu }{\sigma }}={\displaystyle \frac{X-145}{22}}$

$P(135<X<155)=P({\displaystyle \frac{135-145}{22}}<Z<{\displaystyle \frac{155-145}{22}})=P(-\mathrm{0,45}<Z<\mathrm{0,45})$



Por la simetría de la campana,

$P(-\mathrm{0,45}<Z<\mathrm{0,45})=2P(Z<\mathrm{0,45})-1=2\cdot \mathrm{0,6736}-1=\mathrm{0,3472}$

El 34,72 % de las plantas tiene una altura comprendida entre 135 y 155 cm.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{altura,}}\mathbf{\text{como}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo,}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{tener}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{planta}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{estar}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{50}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{altas?}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Buscamos el valor $x_0$ tal que $P(X\ge x_0)=\mathrm{0,5}$.

$P(X\ge x_0)=\mathrm{0,5}\Rightarrow P(X<x_0)=\mathrm{0,5}\Rightarrow P(Z<{\displaystyle \frac{x_0-145}{22}})=\mathrm{0,5}$

En la tabla, $P(Z<0)=\mathrm{0,5}$, luego

${\displaystyle \frac{x_0-145}{22}}=0\Rightarrow x_0=145$

La distribución normal es simétrica respecto de su media, así que la mitad de las plantas queda por encima de ella. Una planta debe medir al menos 145 cm para estar entre el 50 % de las más altas.



Como la población es normal, la media muestral de las muestras de tamaño $n$ sigue la ley

$\bar{X}\sim N(\mu ,{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}})=N(145,{\displaystyle \frac{22}{\sqrt{16}}})=N(145;\mathrm{5,5})$

Tipificamos.

$P(140<\bar{X}<151)=P({\displaystyle \frac{140-145}{\mathrm{5,5}}}<Z<{\displaystyle \frac{151-145}{\mathrm{5,5}}})=P(-\mathrm{0,91}<Z<\mathrm{1,09})$



$P(-\mathrm{0,91}<Z<\mathrm{1,09})=P(Z<\mathrm{1,09})-P(Z<-\mathrm{0,91})=P(Z<\mathrm{1,09})-[1-P(Z<\mathrm{0,91})]$

$=\mathrm{0,8621}-(1-\mathrm{0,8186})=\mathrm{0,8621}-\mathrm{0,1814}=\mathrm{0,6807}$

La probabilidad de que la altura media de la muestra esté entre 140 y 151 cm es $\mathrm{0,6807}$.