Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2024

Se desea conocer la proporción de habitantes de una determinada ciudad que realizan turismo sostenible durante sus vacaciones. Para ello se selecciona al azar una muestra de 2500 habitantes, resultando que 1825 realizan turismo sostenible.

a) Calcule un intervalo, con un nivel de confianza del 95 %, para estimar la proporción de habitantes de la ciudad que realizan turismo sostenible. (1,25 puntos)

b) Para un nivel de confianza del 97 % y manteniendo la proporción muestral, ¿cuál sería el tamaño mínimo de una nueva muestra para que el error de estimación sea inferior al 1 %? (0,75 puntos)

c) Razone qué efecto producirá sobre la amplitud del intervalo una disminución del tamaño de la muestra. (0,5 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{intervalo,}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{95}}\mathbf{\text{\%,}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{estimar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{proporci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{habitantes}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ciudad}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{realizan}}\mathbf{\text{turismo}}\mathbf{\text{sostenible.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La proporción muestral es

$\widehat{p}={\displaystyle \frac{1825}{2500}}=\mathrm{0,73}\widehat{q}=1-\mathrm{0,73}=\mathrm{0,27}$

Para un nivel de confianza del 95 % se tiene $1-\alpha =\mathrm{0,95}$, luego $\alpha \mathrm{/}2=\mathrm{0,025}$ y

$P(Z\le z_{\alpha \mathrm{/}2})=\mathrm{0,975}\Rightarrow z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,96}$

El intervalo de confianza para la proporción poblacional es

$(\widehat{p}-z_{\alpha \mathrm{/}2}\sqrt{{\displaystyle \frac{\widehat{p}\widehat{q}}{n}}},\widehat{p}+z_{\alpha \mathrm{/}2}\sqrt{{\displaystyle \frac{\widehat{p}\widehat{q}}{n}}})$

Calculamos el error máximo admisible.

$E=\mathrm{1,96}\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,73}\cdot \mathrm{0,27}}{2500}}}=\mathrm{1,96}\cdot \mathrm{0,008879}=\mathrm{0,0174}$

$I{C}_{95\mathrm{\%}}=(\mathrm{0,73}-\mathrm{0,0174},\mathrm{0,73}+\mathrm{0,0174})=(\mathrm{0,7126},\mathrm{0,7474})$



Con una confianza del 95 %, la proporción de habitantes que realizan turismo sostenible está entre el 71,26 % y el 74,74 %.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Para}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{97}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{manteniendo}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{proporci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{muestral,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{nueva}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{error}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{estimaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{inferior}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{1}}\mathbf{\text{\%?}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Para un nivel de confianza del 97 % se tiene $\alpha \mathrm{/}2=\mathrm{0,015}$ y

$P(Z\le z_{\alpha \mathrm{/}2})=\mathrm{0,985}\Rightarrow z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{2,17}$

Imponemos que el error sea menor que $\mathrm{0,01}$ y despejamos $n$.

$E=z_{\alpha \mathrm{/}2}\sqrt{{\displaystyle \frac{\widehat{p}\widehat{q}}{n}}}<\mathrm{0,01}\Rightarrow \mathrm{2,17}\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,73}\cdot \mathrm{0,27}}{n}}}<\mathrm{0,01}$

$n>{\left({\displaystyle \frac{\mathrm{2,17}}{\mathrm{0,01}}}\right)}^2\cdot \mathrm{0,73}\cdot \mathrm{0,27}=47089\cdot \mathrm{0,1971}=9\mathrm{281,24}$

Como el tamaño de la muestra ha de ser un número natural, hay que tomar como mínimo $9282$ habitantes.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Razone}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{efecto}}\mathbf{\text{producir}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{amplitud}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{disminuci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{muestra.}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La amplitud del intervalo de confianza es el doble del error máximo admisible:

$\text{Amplitud}=2E=2z_{\alpha \mathrm{/}2}\sqrt{{\displaystyle \frac{\widehat{p}\widehat{q}}{n}}}$

El tamaño de la muestra aparece en el denominador de un radicando, de modo que la amplitud es una función decreciente de $n$: si $n$ disminuye, el cociente $\widehat{p}\widehat{q}\mathrm{/}n$ aumenta y con él la raíz.

Al disminuir el tamaño de la muestra, manteniendo el nivel de confianza y la proporción muestral, la amplitud del intervalo aumenta, es decir, la estimación es menos precisa.