Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

El peso de los libros de texto es una variable que sigue una distribución normal con una desviación típica de 72 gramos. Se toma una muestra de 36 libros, siendo su peso medio de 800 gramos.

Calcule, justificando la respuesta, el intervalo de confianza al 95 % para el peso medio de los libros de texto. [2 puntos]

El peso de los libros sigue una distribución normal de desviación típica conocida, $\sigma =72$ gramos. Para muestras de tamaño $n$, la media muestral se distribuye según

$\bar{X}\sim N(\mu ;{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}})$

y el intervalo de confianza para la media poblacional es

$(\bar{x}-z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}},\bar{x}+z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}})$

Los datos de la muestra son $n=36$ y $\bar{x}=800$ gramos. Con un nivel de confianza del 95 % se tiene $1-\alpha =\mathrm{0,95}$, es decir $\alpha =\mathrm{0,05}$, y la tabla da $z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,96}$.

${\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}={\displaystyle \frac{72}{\sqrt{36}}}={\displaystyle \frac{72}{6}}=12$

$E=\mathrm{1,96}\cdot 12=\mathrm{23,52}$

$(800-\mathrm{23,52},800+\mathrm{23,52})=(\mathrm{776,48},\mathrm{823,52})$

Con un nivel de confianza del 95 %, el peso medio de los libros de texto está entre $\mathrm{776,48}$ y $\mathrm{823,52}$ gramos.