Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2021

Se desea conocer la proporción de clientes que adquirirán un nuevo modelo de teléfono móvil. Para ello se realiza una encuesta a 300 potenciales clientes de los cuales 60 están interesados en dicho producto.

Halle un intervalo de confianza, al nivel de confianza del 95 %, para la proporción de clientes interesados en el nuevo modelo de teléfono móvil. Razone la respuesta. [2 puntos]

Se trata de estimar una proporción a partir de una muestra grande. La proporción muestral de clientes interesados es

$\widehat{p}={\displaystyle \frac{60}{300}}=\mathrm{0,2}$

Para muestras grandes, la proporción muestral sigue una distribución normal

$\widehat{p}\sim N(p;\sqrt{{\displaystyle \frac{\widehat{p}(1-\widehat{p})}{n}}})$

y el intervalo de confianza para la proporción es

$(\widehat{p}-z_{\alpha \mathrm{/}2}\sqrt{{\displaystyle \frac{\widehat{p}(1-\widehat{p})}{n}}},\widehat{p}+z_{\alpha \mathrm{/}2}\sqrt{{\displaystyle \frac{\widehat{p}(1-\widehat{p})}{n}}})$

Con un nivel de confianza del 95 % se tiene $1-\alpha =\mathrm{0,95}$, es decir $\alpha =\mathrm{0,05}$, y la tabla da $z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,96}$.

$\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,2}\cdot \mathrm{0,8}}{300}}}=\sqrt{\mathrm{0,000533}}=\mathrm{0,0231}$

$E=\mathrm{1,96}\cdot \mathrm{0,0231}=\mathrm{0,0453}$

$(\mathrm{0,2}-\mathrm{0,0453},\mathrm{0,2}+\mathrm{0,0453})=(\mathrm{0,1547},\mathrm{0,2453})$

Con un nivel de confianza del 95 %, la proporción de clientes interesados en el nuevo modelo de teléfono móvil está entre $\mathrm{0,1547}$ y $\mathrm{0,2453}$.