Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Dadas las matrices $A=\left(\begin{array}{cc}6& 1\\ 2& 4\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 3& -2\\ 1& 5\end{array}\right)$ y $C=\left(\begin{array}{ccc}-1& -2& 3\\ 1& 4& -2\end{array}\right)$, calcule la matriz $X$ que cumpla la ecuación matricial $AX-B^t=C+3X$, siendo $B^t$ la matriz traspuesta de $B$. Justifique la respuesta. [2 puntos]

Se despeja la matriz $X$ agrupando en un miembro los dos términos que la contienen. Como en $AX$ la incógnita está multiplicada por la izquierda, se saca factor común por la izquierda con ayuda de la matriz identidad.

$AX-B^t=C+3X\Rightarrow AX-3X=C+B^t\Rightarrow (A-3I)\cdot X=C+B^t$

Calculamos las dos matrices que intervienen.

$A-3I=\left(\begin{array}{cc}6& 1\\ 2& 4\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 1\end{array}\right)$

$B^t=\left(\begin{array}{ccc}4& 3& 1\\ 1& -2& 5\end{array}\right)$

$C+B^t=\left(\begin{array}{ccc}-1& -2& 3\\ 1& 4& -2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}4& 3& 1\\ 1& -2& 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}3& 1& 4\\ 2& 2& 3\end{array}\right)$

La matriz $A-3I$ se puede invertir, pues su determinante no es nulo.

$\mathrm{\mid }A-3I\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 1\end{array}\mid =3-2=1\mathrm{\ne }0$

$(A-3I{)}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }A-3I\mathrm{\mid }}}\cdot (\mathrm{Adj}(A-3I){)}^t=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -2& 3\end{array}\right)$

Como la incógnita queda multiplicada por la izquierda, se multiplica también por la izquierda por esa inversa.

$X=(A-3I{)}^{-1}\cdot (C+B^t)=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -2& 3\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}3& 1& 4\\ 2& 2& 3\end{array}\right)$

$X=\left(\begin{array}{ccc}3-2& 1-2& 4-3\\ -6+6& -2+6& -8+9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 0& 4& 1\end{array}\right)$

Se comprueba el resultado sustituyendo en la ecuación de partida:

$AX-B^t=\left(\begin{array}{ccc}6& -2& 7\\ 2& 14& 6\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}4& 3& 1\\ 1& -2& 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}2& -5& 6\\ 1& 16& 1\end{array}\right)$

$C+3X=\left(\begin{array}{ccc}-1& -2& 3\\ 1& 4& -2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}3& -3& 3\\ 0& 12& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}2& -5& 6\\ 1& 16& 1\end{array}\right)$

La matriz que cumple la ecuación es $X=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 0& 4& 1\end{array}\right)$.