Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · 2022

En qué consiste la hipótesis cuántica de De Broglie. Calcule la longitud de onda asociada con una pelota de golf de $50\text{ g}$ de masa que se mueve a una velocidad de $350\text{ km/h}$, y la de un protón que se mueve a la misma velocidad. Comente brevemente el significado de la gran diferencia obtenida en las dos longitudes de onda calculadas.

Datos: $h=\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}\text{ J}\text{s}$; $m_p=\mathrm{1,67}\cdot {10}^{-27}\text{ kg}$.

La hipótesis de De Broglie establece que toda partícula material en movimiento lleva asociada una onda cuya longitud de onda es inversamente proporcional a su momento lineal:

$\lambda ={\displaystyle \frac{h}{p}}={\displaystyle \frac{h}{mv}}$

Con ella De Broglie extendió a la materia la dualidad onda-corpúsculo que ya se aceptaba para la luz, y su predicción se confirmó experimentalmente al observar la difracción de haces de electrones en cristales.

Se expresa primero la velocidad en unidades del Sistema Internacional:

$v=350{\displaystyle \frac{\text{km}}{\text{h}}}\cdot {\displaystyle \frac{1000\text{ m}}{3600\text{ s}}}=\mathrm{97,2}\text{ m/s}$

Para la pelota de golf, con la masa en kilogramos, $m=50\text{ g}=\mathrm{0,05}\text{ kg}$:

${\lambda }_{\text{golf}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}}{\mathrm{0,05}\cdot \mathrm{97,2}}}=\mathrm{1,36}\cdot {10}^{-34}\text{ m}$

Para el protón:

${\lambda }_p={\displaystyle \frac{\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}}{\mathrm{1,67}\cdot {10}^{-27}\cdot \mathrm{97,2}}}=\mathrm{4,08}\cdot {10}^{-9}\text{ m}$

La diferencia es de veinticinco órdenes de magnitud y se debe exclusivamente a la diferencia de masas, porque la velocidad es la misma. La longitud de onda del protón, del orden de los nanómetros, es comparable al tamaño de un átomo, de modo que su comportamiento ondulatorio es observable. La de la pelota de golf, en cambio, es billones de veces menor que un núcleo atómico: no existe ningún obstáculo con el que pueda difractarse y por eso los cuerpos macroscópicos se comportan siempre como partículas clásicas.