Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · 2024

Sobre una superficie de aluminio incide radiación electromagnética de longitud de onda $200\cdot {10}^{-9}\text{ m}$. Sabiendo que el trabajo de extracción del aluminio es 4,2 eV, calcula la energía cinética de los electrones emitidos, el potencial de frenado y la longitud de onda umbral para el aluminio. [2 puntos]

DATOS: $1\text{ eV}=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\text{ J}$; valor de la velocidad de la luz en el vacío, $c=3\cdot {10}^8\text{ m/s}$; constante de Planck: $h=\mathrm{6,6}\cdot {10}^{-34}\text{ J}\cdot \text{s}$.

Por la ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico, la energía del fotón incidente se reparte entre el trabajo de extracción del metal y la energía cinética con que sale el electrón:

$E_{\text{fot}\acute{\text{o}}\text{n}}=W_0+E_{c,\max }$





Se calcula primero la energía del fotón a partir de su longitud de onda:

$E_{\text{fot}\acute{\text{o}}\text{n}}=hf=h{\displaystyle \frac{c}{\lambda }}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,6}\cdot {10}^{-34}\cdot 3\cdot {10}^8}{200\cdot {10}^{-9}}}$

$E_{\text{fot}\acute{\text{o}}\text{n}}=\mathrm{9,9}\cdot {10}^{-19}\text{ J}$

Y se expresa el trabajo de extracción del aluminio en unidades del Sistema Internacional:

$W_0=\mathrm{4,2}\text{ eV}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\text{ J}}{1\text{ eV}}}=\mathrm{6,72}\cdot {10}^{-19}\text{ J}$

La energía cinética máxima de los electrones emitidos es la diferencia:

$E_{c,\max }=\mathrm{9,9}\cdot {10}^{-19}-\mathrm{6,72}\cdot {10}^{-19}=\mathrm{3,18}\cdot {10}^{-19}\text{ J}$

El potencial de frenado es el voltaje que hay que aplicar para detener a esos electrones, de modo que el trabajo eléctrico iguale a su energía cinética:

$e{V}_0=E_{c,\max }\Rightarrow V_0={\displaystyle \frac{\mathrm{3,18}\cdot {10}^{-19}}{\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}}}=\mathrm{1,99}\text{ V}$

La longitud de onda umbral es la mayor que todavía consigue arrancar electrones, aquella cuyo fotón tiene justamente la energía del trabajo de extracción:

$W_0=h{\displaystyle \frac{c}{{\lambda }_0}}\Rightarrow {\lambda }_0={\displaystyle \frac{hc}{W_0}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,6}\cdot {10}^{-34}\cdot 3\cdot {10}^8}{\mathrm{6,72}\cdot {10}^{-19}}}$

${\lambda }_0=\mathrm{2,95}\cdot {10}^{-7}\text{ m}=295\text{ nm}$

Los electrones salen con una energía cinética máxima de $\mathrm{3,18}\cdot {10}^{-19}\text{ J}$, el potencial de frenado es de $\mathrm{1,99}\text{ V}$ y la longitud de onda umbral del aluminio, $295\text{ nm}$. La radiación incidente, de 200 nm, es más corta que la umbral, que es justo la condición para que haya emisión.