Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · 2023

Un electrón entra con una velocidad $\vec{v}=5\cdot {10}^4\vec{i}$ (m/s) en una región del espacio donde hay un campo magnético uniforme $\vec{B}=-\mathrm{2,5}\vec{j}$ (T). Para el instante de entrada, determine:

a) El vector fuerza que ejerce el campo magnético sobre el electrón y el vector aceleración.

b) El radio de la trayectoria que describe el electrón al moverse en el interior del campo. Dibuje la trayectoria, el vector campo magnético, así como su velocidad y aceleración en un punto arbitrario de la trayectoria.

c) La energía cinética y el tiempo que tarda en completar una vuelta.

Datos: $q_e=-\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\text{ C}$; $m_e=\mathrm{9,11}\cdot {10}^{-31}\text{ kg}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{vector}}\mathbf{\text{fuerza}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{ejerce}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{magn}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tico}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{electr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{vector}}\mathbf{\text{aceleraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}$

La fuerza magnética sobre una carga en movimiento es:

$\vec{F}=q(\vec{v}\times \vec{B})$

Se desarrolla el producto vectorial:

$\vec{v}\times \vec{B}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{\mathrm{ı}}& \vec{\mathrm{ȷ}}& \vec{k}\\ 5\cdot {10}^4& 0& 0\\ 0& -\mathrm{2,5}& 0\end{array}\mid =-\mathrm{1,25}\cdot {10}^5\vec{k}$

Y se multiplica por la carga del electrón, que es negativa:

$\vec{F}=-\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\cdot (-\mathrm{1,25}\cdot {10}^5)\vec{k}=\mathrm{2,0}\cdot {10}^{-14}\vec{k}\text{ N}$

La aceleración se obtiene de la segunda ley de Newton:

$\vec{a}={\displaystyle \frac{\vec{F}}{m_e}}={\displaystyle \frac{\mathrm{2,0}\cdot {10}^{-14}}{\mathrm{9,11}\cdot {10}^{-31}}}\vec{k}=\mathrm{2,20}\cdot {10}^{16}\vec{k}{\text{m/s}}^2$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{radio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{trayectoria}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{describe}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{electr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{moverse}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{interior}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{campo.}}\mathbf{\text{Dibuje}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{trayectoria,}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{vector}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{magn}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tico,}}\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{como}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{aceleraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{arbitrario}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{trayectoria.}}$










La fuerza es perpendicular a la velocidad en todo instante, de modo que no cambia su módulo y hace de fuerza centrípeta:

$\mathrm{\mid }{q}_e\mathrm{\mid }vB={\displaystyle \frac{m_e{v}^2}{r}}\Rightarrow r={\displaystyle \frac{m_{e}v}{\mathrm{\mid }{q}_e\mathrm{\mid }B}}$





$r={\displaystyle \frac{\mathrm{9,11}\cdot {10}^{-31}\cdot 5\cdot {10}^4}{\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\cdot \mathrm{2,5}}}=\mathrm{1,14}\cdot {10}^{-7}\text{ m}$

La trayectoria es una circunferencia contenida en el plano $XZ$, perpendicular al campo. En cada punto la velocidad es tangente a ella y la aceleración, igual que la fuerza, apunta hacia el centro.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{cin}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tica}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{tarda}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{completar}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{vuelta.}}$

Como la fuerza magnética no realiza trabajo, el módulo de la velocidad no cambia y la energía cinética es la de entrada:

$E_c={\displaystyle \frac{1}{2}}{m}_e{v}^2={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \mathrm{9,11}\cdot {10}^{-31}\cdot (5\cdot {10}^4{)}^2=\mathrm{1,14}\cdot {10}^{-21}\text{ J}$

El periodo se obtiene de la longitud de la circunferencia y de la velocidad:

$T={\displaystyle \frac{2\pi r}{v}}={\displaystyle \frac{2\pi m_e}{\mathrm{\mid }{q}_e\mathrm{\mid }B}}={\displaystyle \frac{2\pi \cdot \mathrm{9,11}\cdot {10}^{-31}}{\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\cdot \mathrm{2,5}}}=\mathrm{1,43}\cdot {10}^{-11}\text{ s}$

Obsérvese que en la expresión final del periodo la velocidad se ha simplificado: todos los electrones tardan lo mismo en dar una vuelta, vayan deprisa o despacio.