Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · 2022

A partir de la expresión del campo magnético creado por un conductor rectilíneo indefinido a una cierta distancia $d$ del mismo, deduzca las unidades en las que se expresa la permeabilidad magnética ${\mu }_0$ en el Sistema Internacional de unidades.

El campo magnético creado por un conductor rectilíneo indefinido a una distancia $d$ viene dado por la ley de Biot y Savart:

$B={\displaystyle \frac{{\mu }_{0}I}{2\pi d}}$

Se despeja la permeabilidad magnética del vacío:

${\mu }_0={\displaystyle \frac{2\pi dB}{I}}$

Y se sustituye cada magnitud por su unidad en el Sistema Internacional: la distancia en metros, el campo magnético en teslas y la intensidad en amperios. El factor $2\pi$ es adimensional.

$[{\mu }_0]={\displaystyle \frac{\text{m}\cdot \text{T}}{\text{A}}}=\text{T}\text{m}{\text{A}}^{-1}$

Esa expresión puede desarrollarse más recurriendo a la definición del tesla a partir de la fuerza magnética sobre una carga en movimiento, $F=qvB$:

$\text{T}={\displaystyle \frac{\text{N}}{\text{C}\cdot \text{m}{\text{s}}^{-1}}}={\displaystyle \frac{\text{N}}{\text{A}\text{m}}}$

donde se ha usado que $1\text{ A}=1\text{ C/s}$. Sustituyendo:

$[{\mu }_0]={\displaystyle \frac{\text{N}}{\text{A}\text{m}}}\cdot {\displaystyle \frac{\text{m}}{\text{A}}}=\text{N}{\text{A}}^{-2}$

La permeabilidad magnética del vacío se expresa, por tanto, en $\text{T}\text{m}{\text{A}}^{-1}$ o, equivalentemente, en $\text{N}{\text{A}}^{-2}$, que es como suele darse su valor, ${\mu }_0=4\pi \cdot {10}^{-7}\text{ N}{\text{A}}^{-2}$.