Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Cataluña · 2020

Cuando se hace vibrar una cuerda de $\mathrm{40,0}\text{ cm}$ de longitud y fijada por los dos extremos emite un sonido que, una vez analizado, produce el espectro siguiente:



a) Represente esquemáticamente las ondas estacionarias correspondientes a los picos A, B, C y D indicando todos los nodos y todos los vientres. Calcule la longitud de onda de cada una de estas cuatro ondas estacionarias. ¿Cuál es la velocidad de propagación? [1,25 puntos]

b) La longitud de la cuerda disminuye hasta $\mathrm{20,0}\text{ cm}$ sin que cambie la velocidad de propagación de las ondas por la cuerda. ¿Cuáles serán las frecuencias y las longitudes de onda de las cuatro primeras ondas estacionarias? [1,25 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Represente}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{ondas}}\mathbf{\text{estacionarias}}\mathbf{\text{correspondientes}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{picos}}\mathbf{\text{A,}}\mathbf{\text{B,}}\mathbf{\text{C}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{D}}\mathbf{\text{indicando}}\mathbf{\text{nodos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{vientres.}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{longitudes}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda.}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{propagaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n?}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La cuerda está fijada por los dos extremos, de modo que en ellos hay siempre nodos. Los modos posibles son aquellos en los que cabe un número entero de semilongitudes de onda:

$L=n\frac{{\lambda }_n}{2}\Rightarrow {\lambda }_n=\frac{2L}{n}$

En el espectro los picos están en $120$, $240$, $360$ y $480\text{ Hz}$, es decir, en los múltiplos enteros de $120\text{ Hz}$: se trata de los cuatro primeros armónicos, de $n=1$ a $n=4$.



Con $L=\mathrm{40,0}\text{ cm}=\mathrm{0,400}\text{ m}$:

${\lambda }_1=\frac{2\cdot \mathrm{0,400}}{1}=\mathrm{0,800}\text{m}$

${\lambda }_2=\frac{2\cdot \mathrm{0,400}}{2}=\mathrm{0,400}\text{m}$

${\lambda }_3=\frac{2\cdot \mathrm{0,400}}{3}=\mathrm{0,267}\text{m}$

${\lambda }_4=\frac{2\cdot \mathrm{0,400}}{4}=\mathrm{0,200}\text{m}$

La velocidad de propagación de las ondas por la cuerda es la misma para todos los armónicos, y se obtiene de cualquiera de ellos:

$v={\lambda }_1{f}_1=\mathrm{0,800}\cdot 120$

$v=\mathrm{96,0}\text{m/s}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cuerda}}\mathbf{\text{disminuye}}\mathbf{\text{hasta}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">20,0</mn><mtext> cm</mtext></mrow>}\mathbf{\text{sin}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{cambie}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{propagaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{les}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{frecuencias}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{longitudes}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{cuatro}}\mathbf{\text{primeras}}\mathbf{\text{ondas}}\mathbf{\text{estacionarias?}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La condición de contorno es la misma, así que las longitudes de onda vuelven a valer $2L^{\mathrm{\prime }}\mathrm{/}n$, ahora con $L^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{0,200}\text{ m}$:

${\lambda }_n^{\mathrm{\prime }}=\frac{2\cdot \mathrm{0,200}}{n}=\frac{\mathrm{0,400}}{n}$

Y como la velocidad no cambia, las frecuencias son:

$f_n^{\mathrm{\prime }}=\frac{v}{{\lambda }_n^{\mathrm{\prime }}}=\frac{\mathrm{96,0}n}{\mathrm{0,400}}=240n\text{ Hz}$

Armónico	${\lambda }^{\mathrm{\prime }}\text{ (m)}$	$f^{\mathrm{\prime }}\text{ (Hz)}$ 1.º	0,400	240 2.º	0,200	480 3.º	0,133	720 4.º	0,100	960

Al reducir la cuerda a la mitad, todas las frecuencias se duplican: el sonido sube una octava, que es lo que hace un guitarrista al pisar el traste central de la cuerda.