Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Cataluña · 2020

Freddie Mercury ha pasado a la historia como una de las mejores voces del rock. Su mágica voz ha sido objeto de discusión y estudio, también para la ciencia. El biofísico austríaco Christian Herbst estudió la voz del cantante de Queen y determinó que Mercury era un barítono con un registro vocal que iba del fa 2 (alrededor de $\mathrm{92,2}\text{ Hz}$) al sol 5 (alrededor de $784\text{ Hz}$).

a) Calcule las longitudes de onda de los sonidos más graves y más agudos que Mercury podía emitir. [1,25 puntos]

b) En el año 1985, Queen actuó en el festival Rock in Rio, en un concierto que reunió a unas $350000$ personas. En un momento de mucha emoción, los asistentes empezaron a cantar a cappella la famosa canción Love of my life. Si cada asistente al concierto cantaba con una potencia de ${10}^{-7}\text{ W}$, ¿qué nivel de intensidad sonora (en decibelios) se podía percibir a $1\text{ km}$ del concierto? (A esta distancia, puede considerar que el concierto es una fuente puntual de sonido.) [1,25 puntos]

Datos: $I_0={10}^{-12}{\text{W m}}^{-2}$; la velocidad del sonido en el aire es de $340{\text{m s}}^{-1}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{longitudes}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{sonidos}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{graves}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{agudos}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{Mercury}}\mathbf{\text{pod}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{emitir.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La longitud de onda de una onda sonora se obtiene de la relación entre la velocidad de propagación y la frecuencia:

$\lambda =\frac{v}{f}$

Para el sonido más grave, el fa 2, de $\mathrm{92,2}\text{Hz}$:

${\lambda }_{\text{grave}}=\frac{340}{\mathrm{92,2}}=\mathrm{3,69}\text{m}$

Y para el más agudo, el sol 5, de $784\text{Hz}$:

${\lambda }_{\text{agudo}}=\frac{340}{784}=\mathrm{0,434}\text{m}$

Cuanto más aguda es la nota, mayor es la frecuencia y menor la longitud de onda, porque la velocidad del sonido en el aire es la misma para todas.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{intensidad}}\mathbf{\text{sonora}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{pod}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{percibir}}\mathbf{\text{a}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">1</mn><mtext> km</mtext></mrow>}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{concierto?}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Si cada uno de los asistentes canta con la misma potencia, la potencia total emitida es la suma:

$P=350000\cdot {10}^{-7}=\mathrm{3,50}\cdot {10}^{-2}\text{W}$

A $1\text{km}$ se puede tratar el conjunto como un foco puntual, de modo que esa potencia se reparte por igual sobre una superficie esférica:

$I=\frac{P}{4\pi r^2}=\frac{\mathrm{3,50}\cdot {10}^{-2}}{4\pi \cdot {\left({10}^3\right)}^2}$

$I=\mathrm{2,79}\cdot {10}^{-9}{\text{W/m}}^2$

Y el nivel de intensidad sonora correspondiente es:

$\beta =10\log \frac{I}{I_0}=10\log \frac{\mathrm{2,79}\cdot {10}^{-9}}{{10}^{-12}}$

$\beta =\mathrm{34,4}\text{dB}$

A un kilómetro del concierto se percibirían unos $34\text{dB}$, un nivel comparable al de una conversación en voz baja.