Ejercicio resuelto de Campo electromagnético · Física · 2021

Un imán se desplaza horizontalmente, entrando y saliendo de una bobina plana (de $N$ espiras y sección $S$), siguiendo un movimiento armónico simple, que crea un campo magnético $\vec{B}$ perpendicular a la bobina y de módulo $B(t)=B_0\cos (\omega t+{\phi }_0)$.

a) Determine el flujo del campo magnético a través de una espira y la fuerza electromotriz (FEM) en función de los parámetros $B_0$, $\omega$, ${\phi }_0$, $N$ y $S$. [1,25 puntos]



b) Si la bobina tiene una resistencia $R$, determine la corriente máxima que puede circular por la bobina en función de los parámetros $B_0$, $\omega$, ${\phi }_0$, $N$, $S$ y $R$. Indique cuál de las gráficas siguientes (de la A hasta la D) muestra correctamente la FEM si se reduce la frecuencia del movimiento del imán. Justifique la respuesta. [1,25 puntos]



Dato: en todas las gráficas se utiliza la misma escala para el tiempo (eje $x$) y para la FEM (eje $y$).

El flujo del campo magnético a través de una superficie es:

$\mathrm{\Phi }=\vec{B}\cdot \vec{S}=BS\cos \alpha$

Como el campo es perpendicular a la bobina, el ángulo entre $\vec{B}$ y el vector superficie es nulo y el coseno vale la unidad:

$\mathrm{\Phi }(t)=B_{0}S\cos (\omega t+{\phi }_0)$

La fuerza electromotriz inducida viene dada por la ley de Faraday-Lenz, que para una bobina de $N$ espiras es:

$\epsilon =-N\frac{d\mathrm{\Phi }}{dt}$

Derivando el flujo respecto al tiempo:

$\frac{d\mathrm{\Phi }}{dt}=-B_{0}S\omega \sin (\omega t+{\phi }_0)$

$\epsilon (t)=N{B}_{0}S\omega \sin (\omega t+{\phi }_0)$

La fuerza electromotriz es también sinusoidal, con la misma frecuencia que el movimiento del imán pero desfasada un cuarto de período respecto del campo, y su amplitud es proporcional a $\omega$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{corriente}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{puede}}\mathbf{\text{circular}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{bobina.}}\mathbf{\text{Indique}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficas}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{correctamente}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{FEM}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{reduce}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{frecuencia}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{movimiento}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{im}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Aplicando la ley de Ohm a la bobina, de resistencia $R$:

$I(t)=\frac{\epsilon (t)}{R}=\frac{N{B}_{0}S\omega }{R}\sin (\omega t+{\phi }_0)$

La corriente es máxima cuando el seno vale la unidad:

$I_{\max }=\frac{N{B}_{0}S\omega }{R}$

Obsérvese que no depende de la fase inicial ${\phi }_0$, que solo fija el instante en el que se alcanza el máximo.

Si se reduce la frecuencia del movimiento del imán, la pulsación $\omega$ disminuye, y eso tiene dos consecuencias simultáneas:

i) El período de la señal aumenta, de manera que en los mismos $9\text{ s}$ de la gráfica caben menos oscilaciones.

ii) La amplitud de la fuerza electromotriz, ${\epsilon }_{\max }=N{B}_{0}S\omega$, es directamente proporcional a $\omega$, así que también disminuye.

Se revisan las cuatro gráficas con estos dos criterios:

Gráfica	Número de oscilaciones	Amplitud	¿Correcta? A	menor	menor	Sí B	menor	mayor	No C	mayor	menor	No D	mayor	mayor	No

La única que cumple las dos condiciones a la vez es la gráfica A: menos oscilaciones en el mismo intervalo y menor amplitud.