Ejercicio resuelto de Campo electromagnético · Física · 2020

A.3.- Una espira cuadrada de 5 cm de lado está en el interior de un campo magnético uniforme (ver figura).
Sabiendo que el valor del campo magnético $B$, que es perpendicular al papel y está dirigido hacia fuera, es de 0,4 T, determinar el valor de la f.e.m. inducida e indicar el sentido de la corriente en la espira en los siguientes casos:



a) El valor del campo magnético se duplica en 0,1 segundos.
b) El campo magnético cambia de sentido en 3 segundos.
c) La espira se mueve hacia la derecha con una velocidad de 2 cm/s durante 1 s.

Los tres apartados se resuelven con la ley de Faraday-Lenz, y el sentido de la corriente inducida, con el signo negativo que le añadió Lenz: la corriente circula de manera que se oponga a la variación de flujo que la origina.

$\epsilon =-{\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }}{\mathrm{\Delta }t}};\mathrm{\Phi }=\vec{B}\cdot \vec{S}=BS\cos \alpha$

En la situación inicial la espira está completamente dentro del campo y su plano es perpendicular a él, de modo que $\alpha =0$:

$S={\left(\mathrm{0,05}\right)}^2=\mathrm{2,5}\cdot {10}^{-3}{\text{m}}^2$

${\mathrm{\Phi }}_0=BS=\mathrm{0,4}\cdot \mathrm{2,5}\cdot {10}^{-3}=\mathrm{1,0}\cdot {10}^{-3}\text{ Wb}$



$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{magn}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tico}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{duplica}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{0,1}}\mathbf{\text{segundos.}}$

Ni la superficie ni la orientación cambian; solo el módulo del campo, que pasa a $\mathrm{0,8}\text{ T}$:

${\mathrm{\Phi }}_1=2BS=\mathrm{2,0}\cdot {10}^{-3}\text{ Wb}$

$\epsilon =-{\displaystyle \frac{\mathrm{2,0}\cdot {10}^{-3}-\mathrm{1,0}\cdot {10}^{-3}}{\mathrm{0,1}}}=-\mathrm{1,0}\cdot {10}^{-2}\text{ V}$

La fuerza electromotriz inducida es de $\mathrm{1,0}\cdot {10}^{-2}\text{ V}$ en módulo. El flujo saliente aumenta, de manera que la corriente inducida ha de crear dentro de la espira un campo entrante que se oponga a ese aumento; por la regla de la mano derecha, eso exige que circule en sentido horario.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{magn}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tico}}\mathbf{\text{cambia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{sentido}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{3}}\mathbf{\text{segundos.}}$

Invertir el sentido del campo equivale a pasar de $\alpha =0^{\circ }$ a $\alpha ={180}^{\circ }$, con lo que el flujo cambia de signo conservando su valor absoluto:

${\mathrm{\Phi }}_1=BS\cos {180}^{\circ }=-\mathrm{1,0}\cdot {10}^{-3}\text{ Wb}$

$\epsilon =-{\displaystyle \frac{-\mathrm{1,0}\cdot {10}^{-3}-\mathrm{1,0}\cdot {10}^{-3}}{3}}=+\mathrm{6,7}\cdot {10}^{-4}\text{ V}$

La fuerza electromotriz inducida vale $\mathrm{6,7}\cdot {10}^{-4}\text{ V}$. Ahora el flujo saliente disminuye —y llega a invertirse—, así que la corriente inducida crea un campo saliente que trate de mantenerlo: circula en sentido antihorario. Obsérvese que la variación de flujo es el doble que en el apartado a) y aun así la fuerza electromotriz es quince veces menor, porque el proceso dura treinta veces más.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{espira}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{mueve}}\mathbf{\text{hacia}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{derecha}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{2}}\mathbf{\text{cm/s}}\mathbf{\text{durante}}\mathbf{\text{1}}\mathbf{\text{s.}}$

Aquí no cambia el campo, sino la superficie de espira que está dentro de él: como el borde derecho de la espira coincide con el límite de la región del campo, al desplazarse $2\text{ cm}$ hacia la derecha una franja de ese ancho queda fuera. La parte que sigue dentro mide $3\times 5\text{ cm}$:

$S^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{0,03}\cdot \mathrm{0,05}=\mathrm{1,5}\cdot {10}^{-3}{\text{m}}^2$

${\mathrm{\Phi }}_1=B{S}^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{0,4}\cdot \mathrm{1,5}\cdot {10}^{-3}=\mathrm{6,0}\cdot {10}^{-4}\text{ Wb}$

$\epsilon =-{\displaystyle \frac{\mathrm{6,0}\cdot {10}^{-4}-\mathrm{1,0}\cdot {10}^{-3}}{1}}=+\mathrm{4,0}\cdot {10}^{-4}\text{ V}$

La fuerza electromotriz inducida es de $\mathrm{4,0}\cdot {10}^{-4}\text{ V}$. Se llega al mismo resultado con la expresión de la fem de movimiento, $\epsilon =BLv=\mathrm{0,4}\cdot \mathrm{0,05}\cdot \mathrm{0,02}$. El flujo saliente disminuye, de modo que la corriente inducida vuelve a circular en sentido antihorario para tratar de mantenerlo.