Ejercicio resuelto de Solubilidad · Química · País Vasco · 2022

A3. Una disolución tiene una concentración $\mathrm{1,0}\cdot {10}^{-3}$ M en iones $\mathrm{S}{\mathrm{r}}^{2+}$ y 2 M en iones $\mathrm{C}{\mathrm{a}}^{2+}$. Se le añade lentamente sulfato de sodio sólido que es soluble (suponemos que la adición de sulfato de sodio no altera apreciablemente el volumen de la disolución). Los $K_{ps}$ del sulfato de estroncio y sulfato de calcio son respectivamente $\mathrm{7,6}\cdot {10}^{-7}$ y $\mathrm{2,4}\cdot {10}^{-5}$. Calcular:

a) La concentración de sulfato que habrá en el momento en que comience la precipitación del primer ion y cuál será este. (1,25)
b) La concentración del ion que ha precipitado en primer lugar cuando empiece a precipitar el segundo ion. (1,25)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{concentraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{sulfato}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{habr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{momento}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{comience}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{precipitaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{primer}}\mathbf{\text{ion}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{este.}}\mathbf{\text{(1,25)}}$

Al añadir sulfato de sodio, que es soluble, la concentración de sulfato en la disolución va creciendo poco a poco. Precipitará primero el catión que necesite menos sulfato para alcanzar su producto de solubilidad, de modo que hay que calcular esa concentración umbral para cada uno.

$\mathrm{N}{\mathrm{a}}_2\mathrm{S}{\mathrm{O}}_4(s)\to 2\mathrm{N}{\mathrm{a}}^{+}(aq)+\mathrm{S}{\mathrm{O}}_4^{2-}(aq)$

$\mathrm{S}\mathrm{r}\mathrm{S}{\mathrm{O}}_4(s)\rightleftharpoons \mathrm{S}{\mathrm{r}}^{2+}+\mathrm{S}{\mathrm{O}}_4^{2-};\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{S}{\mathrm{O}}_4(s)\rightleftharpoons \mathrm{C}{\mathrm{a}}^{2+}+\mathrm{S}{\mathrm{O}}_4^{2-}$

Ambas sales tienen estequiometría uno a uno, así que en los dos casos basta despejar el sulfato del producto de solubilidad:

$[\mathrm{S}{\mathrm{O}}_4^{2-}]={\displaystyle \frac{K_{ps}(\mathrm{S}\mathrm{r}\mathrm{S}{\mathrm{O}}_4)}{[\mathrm{S}{\mathrm{r}}^{2+}]}}={\displaystyle \frac{\mathrm{7,6}\cdot {10}^{-7}}{\mathrm{1,0}\cdot {10}^{-3}}}=\mathrm{7,6}\cdot {10}^{-4}\text{ mol/L}$

$[\mathrm{S}{\mathrm{O}}_4^{2-}]={\displaystyle \frac{K_{ps}(\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{S}{\mathrm{O}}_4)}{[\mathrm{C}{\mathrm{a}}^{2+}]}}={\displaystyle \frac{\mathrm{2,4}\cdot {10}^{-5}}{2}}=\mathrm{1,2}\cdot {10}^{-5}\text{ mol/L}$

$\mathrm{1,2}\cdot {10}^{-5}<\mathrm{7,6}\cdot {10}^{-4}$

Precipita primero el calcio, en forma de sulfato de calcio, y lo hace cuando la concentración de sulfato alcanza $\mathrm{1,2}\cdot {10}^{-5}$ M. La conclusión no se podía anticipar de los productos de solubilidad: el del sulfato de calcio es unas treinta veces mayor, pero su catión está a una concentración dos mil veces superior, y eso es lo que decide.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{concentraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{ion}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{precipitado}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{primer}}\mathbf{\text{lugar}}\mathbf{\text{cuando}}\mathbf{\text{empiece}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{precipitar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{segundo}}\mathbf{\text{ion.}}\mathbf{\text{(1,25)}}$

El segundo en precipitar es el estroncio, que necesita una concentración de sulfato de $\mathrm{7,6}\cdot {10}^{-4}$ M. En ese instante el calcio que siga disuelto ha de cumplir todavía el equilibrio de su propia sal, con esa concentración de sulfato.

$[\mathrm{S}{\mathrm{O}}_4^{2-}]=\mathrm{7,6}\cdot {10}^{-4}\text{ mol/L}$

$[\mathrm{C}{\mathrm{a}}^{2+}]={\displaystyle \frac{K_{ps}(\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{S}{\mathrm{O}}_4)}{[\mathrm{S}{\mathrm{O}}_4^{2-}]}}={\displaystyle \frac{\mathrm{2,4}\cdot {10}^{-5}}{\mathrm{7,6}\cdot {10}^{-4}}}$

$[\mathrm{C}{\mathrm{a}}^{2+}]=\mathrm{3,2}\cdot {10}^{-2}\text{ mol/L}$

Conviene ver qué fracción del calcio inicial representa:

${\displaystyle \frac{\mathrm{3,2}\cdot {10}^{-2}}{2}}\cdot 100=\mathrm{1,6}\mathrm{\%}$

Cuando empieza a precipitar el estroncio quedan en disolución $\mathrm{3,2}\cdot {10}^{-2}$ M de calcio, apenas el 1,6 % del que había al principio. Es decir, más del 98 % del calcio ha precipitado antes de que el estroncio comience a hacerlo, lo que permite separar bastante bien los dos cationes mediante precipitación fraccionada.