Ejercicio resuelto de Solubilidad · Química · Cataluña · 2023

El sulfato de bario ($\mathrm{B}\mathrm{a}\mathrm{S}{\mathrm{O}}_4$) es un compuesto poco soluble en agua que se utiliza como contraste radiológico en análisis de rayos X del esófago, el estómago y los intestinos. Generalmente, hay que beber una suspensión de sulfato de bario una o dos veces antes del análisis radiológico.

a) Calcule la solubilidad molar del sulfato de bario en agua. Calcule qué cantidad de ion bario ($\mathrm{B}{\mathrm{a}}^{2+}$), en mg, se ingiere si se toman 200 mL de una disolución saturada de sulfato de bario antes de un análisis radiológico. [1,25 puntos]
b) Algunos estudios indican que aproximadamente el 2 % de la población es alérgica al ion bario. En el caso de que un paciente sea alérgico al ion bario, razone si añadir una cierta cantidad de sulfato de sodio ($\mathrm{N}{\mathrm{a}}_2\mathrm{S}{\mathrm{O}}_4$) a la suspensión de sulfato de bario que hay que tomar sería bueno para disminuir los efectos de la alergia. A las personas alérgicas al ion bario, ¿qué suspensión les provocará más alergia: una de sulfato de bario o una de carbonato de bario ($\mathrm{B}\mathrm{a}\mathrm{C}{\mathrm{O}}_3$)? Justifique la respuesta. [1,25 puntos]

Datos: Constantes del producto de solubilidad a 25 °C: $K_{\mathrm{p}\mathrm{s}}(\mathrm{B}\mathrm{a}\mathrm{S}{\mathrm{O}}_4)=\mathrm{1,1}\times {10}^{-10}$; $K_{\mathrm{p}\mathrm{s}}(\mathrm{B}\mathrm{a}\mathrm{C}{\mathrm{O}}_3)=\mathrm{3,2}\times {10}^{-9}$. Masas atómicas relativas: $\mathrm{B}\mathrm{a}=\mathrm{137,3}$; $\mathrm{S}=\mathrm{32,1}$; $\mathrm{O}=\mathrm{16,0}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{solubilidad}}\mathbf{\text{molar}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sulfato}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{bario}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{agua.}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{cantidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ion}}\mathbf{\text{bario,}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{mg,}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{ingiere}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{toman}}\mathbf{\text{200}}\mathbf{\text{mL}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{disoluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{saturada}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{sulfato}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{bario}}\mathbf{\text{antes}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{an}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{lisis}}\mathbf{\text{radiol}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{gico.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

El sulfato de bario es una sal poco soluble, y en una disolución saturada se establece el equilibrio entre el sólido y sus iones:

$\mathrm{B}\mathrm{a}\mathrm{S}{\mathrm{O}}_4(\mathrm{s})\rightleftharpoons \mathrm{B}{\mathrm{a}}^{2+}(\mathrm{a}\mathrm{c})+\mathrm{S}{\mathrm{O}}_4^{2-}(\mathrm{a}\mathrm{c})$

Llamando $s$ a la solubilidad molar, por cada mol que se disuelve aparece un mol de cada ion, así que las dos concentraciones valen $s$:

$K_{ps}=[\mathrm{B}{\mathrm{a}}^{2+}][\mathrm{S}{\mathrm{O}}_4^{2-}]=s\cdot s=s^2$

$s=\sqrt{K_{ps}}=\sqrt{\mathrm{1,1}\cdot {10}^{-10}}=\mathrm{1,05}\cdot {10}^{-5}\text{ mol/L}$

Es una solubilidad extraordinariamente baja, y en eso se basa su uso médico: aunque el ion bario es tóxico, el sulfato de bario apenas se disuelve y atraviesa el tubo digestivo prácticamente intacto.

La cantidad de bario ingerida con 200 mL de disolución saturada es:

$n(\mathrm{B}{\mathrm{a}}^{2+})=s\cdot V=\mathrm{1,05}\cdot {10}^{-5}\cdot \mathrm{0,200}=\mathrm{2,10}\cdot {10}^{-6}\text{ mol}$

$m=n\cdot M=\mathrm{2,10}\cdot {10}^{-6}\cdot \mathrm{137,3}=\mathrm{2,88}\cdot {10}^{-4}\text{ g}$

$m(\mathrm{B}{\mathrm{a}}^{2+})=\mathrm{0,29}\text{ mg}$

Se ingieren, por tanto, menos de tres décimas de miligramo de ion bario, una cantidad muy inferior a la dosis tóxica.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Razone}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{adir}}\mathbf{\text{sulfato}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{sodio}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{suspensi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{sulfato}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{bario}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{bueno}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{disminuir}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{efectos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{alergia.}}\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{personas}}\mathbf{\text{al}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rgicas}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{ion}}\mathbf{\text{bario,}}\mathbf{\text{¿qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{suspensi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{les}}\mathbf{\text{provocar}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{alergia:}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{sulfato}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{bario}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{carbonato}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{bario?}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Lo que provoca la alergia es el ion bario disuelto, no el sólido, así que la pregunta es en realidad cómo reducir la concentración de $\mathrm{B}{\mathrm{a}}^{2+}$ en la disolución.

Añadir sulfato de sodio sí ayuda, y es un buen ejemplo del efecto del ion común. El $\mathrm{N}{\mathrm{a}}_2\mathrm{S}{\mathrm{O}}_4$ es una sal soluble que se disocia por completo y aporta iones sulfato:

$\mathrm{N}{\mathrm{a}}_2\mathrm{S}{\mathrm{O}}_4(\mathrm{s})\to 2\mathrm{N}{\mathrm{a}}^{+}(\mathrm{a}\mathrm{c})+\mathrm{S}{\mathrm{O}}_4^{2-}(\mathrm{a}\mathrm{c})$

Ese sulfato es uno de los productos del equilibrio de solubilidad del sulfato de bario, de modo que, por el principio de Le Chatelier, el equilibrio se desplaza hacia la izquierda, hacia la precipitación del sólido:

$\mathrm{B}\mathrm{a}\mathrm{S}{\mathrm{O}}_4(\mathrm{s})\rightleftharpoons \mathrm{B}{\mathrm{a}}^{2+}(\mathrm{a}\mathrm{c})+\mathrm{S}{\mathrm{O}}_4^{2-}(\mathrm{a}\mathrm{c})$

Se ve igual de bien con la expresión de la constante. Como $K_{ps}$ solo depende de la temperatura, si aumenta $[\mathrm{S}{\mathrm{O}}_4^{2-}]$ tiene que disminuir $[\mathrm{B}{\mathrm{a}}^{2+}]$:

$[\mathrm{B}{\mathrm{a}}^{2+}]=\frac{K_{ps}}{[\mathrm{S}{\mathrm{O}}_4^{2-}]}$

Así que sí: añadir sulfato de sodio reduce la cantidad de bario disuelto y, con ella, los efectos de la alergia.

Para la segunda pregunta hay que comparar las solubilidades de las dos sales. Como ambas son del tipo 1:1, sus constantes se pueden comparar directamente:

$s(\mathrm{B}\mathrm{a}\mathrm{S}{\mathrm{O}}_4)=\sqrt{\mathrm{1,1}\cdot {10}^{-10}}=\mathrm{1,05}\cdot {10}^{-5}\text{ mol/L}$

$s(\mathrm{B}\mathrm{a}\mathrm{C}{\mathrm{O}}_3)=\sqrt{\mathrm{3,2}\cdot {10}^{-9}}=\mathrm{5,66}\cdot {10}^{-5}\text{ mol/L}$

El carbonato de bario es unas cinco veces y media más soluble que el sulfato, así que libera cinco veces y media más ion bario en disolución. La suspensión que más alergia provocaría es la de $\mathbf{\text{carbonato}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{bario}}$, y por eso el contraste radiológico se prepara siempre con sulfato.

Hay además una razón añadida: el carbonato es la base conjugada de un ácido débil y reacciona con el ácido clorhídrico del estómago, lo que consumiría carbonato y desplazaría aún más su equilibrio de solubilidad hacia la disolución, liberando todavía más bario.