Ejercicio resuelto de Recta tangente y normal · Matemáticas I

Halla la ecuación de la recta tangente a $f(x)={\displaystyle \frac{\sqrt{x+1}}{x+2}}$ en el punto de abscisa $x=0$.

La recta tangente a la gráfica de una función $f$ en el punto de abscisa $x=a$ es la recta que pasa por el punto $(a,f(a))$ y tiene por pendiente la derivada en ese punto, $f^{\mathrm{\prime }}(a)$. Su ecuación en forma punto-pendiente es:
$\boxed{{\displaystyle y-f(a)=f^{\mathrm{\prime }}(a)(x-a)}}$





$\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tangencia}}$
La función es $f(x)={\displaystyle \frac{\sqrt{x+1}}{x+2}}$ y el punto de tangencia es el de abscisa $x=0$. Su ordenada se obtiene sustituyendo en la función:
$f(0)={\displaystyle \frac{\sqrt{0+1}}{0+2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$
El punto de tangencia es $P(0,{\displaystyle \frac{1}{2}})$.


$\mathbf{\text{Pendiente}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{tangente:}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{derivada}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}$
Se deriva con la regla del cociente, ${\left({\displaystyle \frac{u}{v}}\right)}^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{u^{\mathrm{\prime }}v-u{v}^{\mathrm{\prime }}}{v^2}}$, con $u=\sqrt{x+1}$, $u^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x+1}}}$, $v=x+2$ y $v^{\mathrm{\prime }}=1$:
$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x+1}}}(x+2)-\sqrt{x+1}\cdot 1}{(x+2{)}^2}}$
y se sustituye la abscisa del punto:
$m=f^{\mathrm{\prime }}(0)={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{0+1}}}(0+2)-\sqrt{0+1}\cdot 1}{(0+2{)}^2}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 2-1}{4}}={\displaystyle \frac{0}{4}}=0$


$\mathbf{\text{Ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathbf{\text{tangente}}$
La pendiente es cero: la tangente es horizontal, a la altura del punto.
$y-{\displaystyle \frac{1}{2}}=0(x-0)=0\Rightarrow y={\displaystyle \frac{1}{2}}$
$\boxed{{\displaystyle y={\displaystyle \frac{1}{2}}}}$