Ejercicio resuelto de Recta tangente y normal · Matemáticas I

Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de la función $f(x)={\displaystyle \frac{x+1}{x-1}}$ en el punto de abscisa $x=2$. Calcula el área del triángulo determinado por dichas rectas y el eje de abscisas.

La recta tangente a la gráfica de una función $f$ en el punto de abscisa $x=a$ es la recta que pasa por el punto $(a,f(a))$ y tiene por pendiente la derivada en ese punto, $f^{\mathrm{\prime }}(a)$. Su ecuación en forma punto-pendiente es:
$\boxed{{\displaystyle y-f(a)=f^{\mathrm{\prime }}(a)(x-a)}}$
La recta normal es la perpendicular a la tangente en el mismo punto: pasa por $(a,f(a))$ y su pendiente es la opuesta de la inversa, $-1\mathrm{/}{f}^{\mathrm{\prime }}(a)$:
$\boxed{{\displaystyle y-f(a)=-{\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}(a)}}(x-a)}}$





$\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tangencia}}$
La función es $f(x)={\displaystyle \frac{x+1}{x-1}}$ y el punto de tangencia es el de abscisa $x=2$. Su ordenada se obtiene sustituyendo en la función:
$f(2)={\displaystyle \frac{2+1}{2-1}}={\displaystyle \frac{3}{1}}=3$
El punto de tangencia es $P(2,3)$.


$\mathbf{\text{Pendiente}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{tangente:}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{derivada}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}$
Se deriva con la regla del cociente:
$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1\cdot (x-1)-(x+1)\cdot 1}{(x-1{)}^2}}={\displaystyle \frac{-2}{(x-1{)}^2}}$
y se sustituye $x=2$:
$m=f^{\mathrm{\prime }}(2)={\displaystyle \frac{-2}{(2-1{)}^2}}=-2$


$\mathbf{\text{Ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathbf{\text{tangente}}$
Con el punto y la pendiente, en la forma punto-pendiente:
$y-3=-2(x-2)\Rightarrow y=-2(x-2)+3=-2x+7$
$\boxed{{\displaystyle y=-2x+7}}$


$\mathbf{\text{Ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathbf{\text{normal}}$
La pendiente de la normal es la opuesta de la inversa de la de la tangente:
$m_n=-{\displaystyle \frac{1}{(-2)}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$
y pasa por el mismo punto:
$y-3={\displaystyle \frac{1}{2}}(x-2)\Rightarrow y={\displaystyle \frac{1}{2}}(x-2)+3={\displaystyle \frac{1}{2}}x+2$
$\boxed{{\displaystyle y={\displaystyle \frac{1}{2}}x+2}}$


$\acute{\mathbf{\text{A}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{tri}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}$
El triángulo tiene por vértices el punto de tangencia y los cortes de las dos rectas con el eje de abscisas ($y=0$). El de la tangente:
$-2x+7=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{7}{2}}$
y el de la normal:
${\displaystyle \frac{1}{2}}x+2=0\Rightarrow x=-4$
La base está sobre el eje, entre $(-4,0)$ y $({\displaystyle \frac{7}{2}},0)$, y la altura es la ordenada del punto de tangencia:
$b={\displaystyle \frac{7}{2}}-(-4)={\displaystyle \frac{15}{2}}h=3$
$A={\displaystyle \frac{1}{2}}bh={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{15}{2}}\cdot 3={\displaystyle \frac{45}{4}}$
$\boxed{{\displaystyle A={\displaystyle \frac{45}{4}}{\text{u}}^2}}$