Ejercicio resuelto de Recta tangente y normal · Matemáticas I

Halla la ecuación de las rectas tangente y normal a la gráfica de la función $f(x)={\displaystyle \frac{x-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}}$ en el punto de abscisa $x=4$.

La recta tangente a la gráfica de una función $f$ en el punto de abscisa $x=a$ es la recta que pasa por el punto $(a,f(a))$ y tiene por pendiente la derivada en ese punto, $f^{\mathrm{\prime }}(a)$. Su ecuación en forma punto-pendiente es:
$\boxed{{\displaystyle y-f(a)=f^{\mathrm{\prime }}(a)(x-a)}}$
La recta normal es la perpendicular a la tangente en el mismo punto: pasa por $(a,f(a))$ y su pendiente es la opuesta de la inversa, $-1\mathrm{/}{f}^{\mathrm{\prime }}(a)$:
$\boxed{{\displaystyle y-f(a)=-{\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}(a)}}(x-a)}}$





$\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tangencia}}$
La función es $f(x)={\displaystyle \frac{x-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}}$ y el punto de tangencia es el de abscisa $x=4$. Su ordenada se obtiene sustituyendo en la función:
$f(4)={\displaystyle \frac{4-\sqrt{4}}{4+\sqrt{4}}}={\displaystyle \frac{4-2}{4+2}}={\displaystyle \frac{2}{6}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$
El punto de tangencia es $P(4,{\displaystyle \frac{1}{3}})$.


$\mathbf{\text{Pendiente}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{tangente:}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{derivada}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}$
Se deriva con la regla del cociente, ${\left({\displaystyle \frac{u}{v}}\right)}^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{u^{\mathrm{\prime }}v-u{v}^{\mathrm{\prime }}}{v^2}}$, con $u=x-\sqrt{x}$, $u^{\mathrm{\prime }}=1-{\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}$, $v=x+\sqrt{x}$ y $v^{\mathrm{\prime }}=1+{\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}$:
$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{(1-{\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}})(x+\sqrt{x})-(x-\sqrt{x})(1+{\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}})}{(x+\sqrt{x}{)}^2}}$
No hace falta simplificar: se sustituye directamente $x=4$, con $\sqrt{4}=2$:
$m=f^{\mathrm{\prime }}(4)={\displaystyle \frac{(1-{\displaystyle \frac{1}{4}})\cdot 6-2\cdot (1+{\displaystyle \frac{1}{4}})}{6^2}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{9}{2}}-{\displaystyle \frac{5}{2}}}{36}}={\displaystyle \frac{2}{36}}={\displaystyle \frac{1}{18}}$


$\mathbf{\text{Ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathbf{\text{tangente}}$
Con el punto y la pendiente, en la forma punto-pendiente:
$y-{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{1}{18}}(x-4)\Rightarrow y={\displaystyle \frac{1}{18}}(x-4)+{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{1}{18}}x+{\displaystyle \frac{1}{9}}$
$\boxed{{\displaystyle y={\displaystyle \frac{1}{18}}x+{\displaystyle \frac{1}{9}}}}$


$\mathbf{\text{Ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathbf{\text{normal}}$
La pendiente de la normal es la opuesta de la inversa de la de la tangente:
$m_n=-{\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \frac{1}{18}}}}=-18$
y pasa por el mismo punto:
$y-{\displaystyle \frac{1}{3}}=-18(x-4)\Rightarrow y=-18(x-4)+{\displaystyle \frac{1}{3}}=-18x+{\displaystyle \frac{217}{3}}$
$\boxed{{\displaystyle y=-18x+{\displaystyle \frac{217}{3}}}}$