Ejercicio resuelto de Recta tangente y normal · Matemáticas I

Halla la ecuación de la recta tangente a $f(x)=x^3-3x^2+4$ en el punto de ordenada $y=0$.

La recta tangente a la gráfica de una función $f$ en el punto de abscisa $x=a$ es la recta que pasa por el punto $(a,f(a))$ y tiene por pendiente la derivada en ese punto, $f^{\mathrm{\prime }}(a)$. Su ecuación en forma punto-pendiente es:
$\boxed{{\displaystyle y-f(a)=f^{\mathrm{\prime }}(a)(x-a)}}$





$\mathbf{\text{Los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tangencia}}$
Dan la ordenada, $y=0$: los puntos de tangencia son los cortes de la gráfica con el eje de abscisas, las raíces de la función.
$f(x)=x^3-3x^2+4$
$x^3-3x^2+4=0$
Se prueba con los divisores del término independiente: $f(-1)=-1-3+4=0$, así que $x=-1$ es raíz. Dividiendo por $(x+1)$ (Ruffini) queda $x^2-4x+4=(x-2{)}^2$:
$x^3-3x^2+4=(x+1)(x-2{)}^2=0\Rightarrow x=-1,x=2$
Hay dos puntos de ordenada cero, $P_1(-1,0)$ y $P_2(2,0)$, y por tanto dos rectas tangentes.


$\mathbf{\text{Pendiente}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{punto}}$
Se deriva la función:
$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-6x$
y se sustituye cada abscisa:
$m_1=f^{\mathrm{\prime }}(-1)=3\cdot (-1{)}^2-6\cdot (-1)=3+6=9$
$m_2=f^{\mathrm{\prime }}(2)=3\cdot 2^2-6\cdot 2=12-12=0$


$\mathbf{\text{Ecuaciones}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{rectas}}\mathbf{\text{tangentes}}$
En $P_1(-1,0)$, con pendiente $9$:
$y=9(x+1)\Rightarrow y=9(x+1)=9x+9$
En $P_2(2,0)$ la pendiente es cero: la tangente es horizontal y coincide con el eje de abscisas ($x=2$ es una raíz doble: la gráfica toca el eje sin cruzarlo).
$y=0(x-2)=0\Rightarrow y=0$
$\boxed{{\displaystyle y=9x+9y=0}}$