Ejercicio resuelto de MCUA · Física y Química I

Se deja caer una rueda de 30 cm de radio por un plano inclinado, de forma que su velocidad angular aumenta a un ritmo constante. Si la rueda parte del reposo y llega al final del plano al cabo de 5 s con una velocidad angular de $\pi \text{ rad/s}$, calcula:

a) La aceleración angular.

b) La velocidad angular a los 3 s.

c) La aceleración tangencial y normal al final del plano.

La rueda gira cada vez más deprisa, y con la velocidad angular creciendo a ritmo constante: es un movimiento circular uniformemente acelerado. La velocidad angular cambia con la aceleración angular $\alpha$, y un punto del borde, a distancia $R$ del eje, tiene dos aceleraciones: la normal, hacia el centro, que se debe al giro, y la tangencial, que se debe a que gira cada vez más rápido:
$\boxed{{\displaystyle \omega ={\omega }_0+\alpha t}}$
$\boxed{{\displaystyle a_N={\omega }^{2}R}}$
$\boxed{{\displaystyle a_T=\alpha R}}$





$\mathbf{\text{Datos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{caso}}$
La rueda parte del reposo, ${\omega }_0=0$, y a los 5 s gira a $\pi \text{ rad/s}$; el radio es $R=\mathrm{0,3}\text{ m}$. Con ${\omega }_0=0$ la velocidad angular queda:
$\omega =\alpha t$


$\mathbf{\text{a)}}$ La aceleración angular es el ritmo al que crece la velocidad angular. Se impone que a los 5 s valga $\pi$:
$\pi =\alpha \cdot 5\Rightarrow \alpha ={\displaystyle \frac{\pi }{5}}={\displaystyle \frac{\pi }{5}}{\text{rad/s}}^2=\mathrm{0,628}{\text{rad/s}}^2$
$\boxed{{\displaystyle \alpha ={\displaystyle \frac{\pi }{5}}{\text{rad/s}}^2=\mathrm{0,63}{\text{rad/s}}^2}}$


$\mathbf{\text{b)}}$ Se sustituye $t=3$ en la ecuación de la velocidad angular:
$\omega ={\displaystyle \frac{\pi }{5}}\cdot 3={\displaystyle \frac{3\pi }{5}}\text{ rad/s}=\mathrm{1,88}\text{ rad/s}$
$\boxed{{\displaystyle \omega ={\displaystyle \frac{3\pi }{5}}\text{ rad/s}=\mathrm{1,88}\text{ rad/s}}}$


$\mathbf{\text{c)}}$ Al final del plano la velocidad angular es la del dato, $\omega =\pi \text{ rad/s}$. La aceleración normal de un punto del borde depende de esa velocidad angular y del radio:
$a_N={\pi }^2\cdot \mathrm{0,3}=\mathrm{2,96}{\text{m/s}}^2$
y la tangencial, de la aceleración angular, que es la misma durante toda la bajada:
$a_T={\displaystyle \frac{\pi }{5}}\cdot \mathrm{0,3}=\mathrm{0,19}{\text{m/s}}^2$
$\boxed{{\displaystyle a_N=\mathrm{2,96}{\text{m/s}}^2{a}_T=\mathrm{0,19}{\text{m/s}}^2}}$
La normal es mucho mayor que la tangencial: por eso en la figura la flecha de $a_T$ no está a escala, se dibuja más larga de lo que le toca para que se vea.