Ejercicio resuelto de MCUA · Física y Química I

Un volante que gira en torno a su eje a razón de 30 rpm es frenado y se para en 20 s.

a) Calcula la aceleración angular.
b) El número de vueltas que da el volante hasta que se detiene.
c) Si el radio del volante es de 10 cm, calcula las componentes intrínsecas de la aceleración en un punto de su periferia en el instante en que la rueda acaba de dar 2 vueltas.

Velocidad angular inicial:

${\omega }_0=30\text{ rpm}\cdot {\displaystyle \frac{2\pi \text{ rad}}{1\text{ vuelta}}}\cdot {\displaystyle \frac{1\text{ min}}{60\text{ s}}}=\pi \text{ rad/s}\approx \mathrm{3,14}\text{ rad/s}$

a) Aceleración angular (se para en 20 s):

$\alpha ={\displaystyle \frac{\omega -{\omega }_0}{t}}={\displaystyle \frac{0-\pi }{20}}=-{\displaystyle \frac{\pi }{20}}\approx -\mathrm{0,157}{\text{rad/s}}^2$

b) Ángulo girado hasta detenerse:

$\phi ={\displaystyle \frac{{\omega }_0+\omega }{2}}t={\displaystyle \frac{\pi +0}{2}}\cdot 20=10\pi \text{ rad}\approx \mathrm{31,4}\text{ rad}$

$n={\displaystyle \frac{\phi }{2\pi }}={\displaystyle \frac{10\pi }{2\pi }}=5\text{ vueltas}$

c) Componentes intrínsecas en la periferia $(r=\mathrm{0,10}\text{ m})$ tras 2 vueltas $(\phi =2\cdot 2\pi =4\pi \text{ rad})$:

Aceleración tangencial (constante, $a_t=\alpha r$):

$a_t=-{\displaystyle \frac{\pi }{20}}\cdot \mathrm{0,10}\approx -\mathrm{0,0157}{\text{m/s}}^2$

Para la normal necesitamos $\omega$ tras esas 2 vueltas:

${\omega }^2={\omega }_0^2+2\alpha \phi ={\pi }^2+2(-\frac{\pi }{20})4\pi =\mathrm{0,6}{\pi }^2\Rightarrow \omega \approx \mathrm{2,43}\text{ rad/s}$

Aceleración normal (centrípeta, $a_n={\omega }^{2}r$):

$a_n=\mathrm{0,6}{\pi }^2\cdot \mathrm{0,10}\approx \mathrm{0,59}{\text{m/s}}^2$