Ejercicio resuelto de Trigonométricas · Matemáticas I

Calcular las siguientes integrales trigonométricas no inmediatas, haciendo cambios o transformando los integrandos:

a) ${\displaystyle \int {\cos }^2{\displaystyle \frac{x}{2}}dx}$
b) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{\mathrm{sen}2x}{1+\cos x}}dx}$
c) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{-\cos x}{3+{\cos }^{2}x}}dx}$
d) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}2x}}dx}$
e) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{1-\mathrm{sen}x}}dx}$

Ninguna de estas es inmediata tal y como viene: hay que transformar antes el integrando. Las herramientas son siempre las mismas:
$\boxed{{\displaystyle {\mathrm{sen}}^{2}x+{\cos }^{2}x=11+{\mathrm{tg}}^{2}x={\sec }^{2}x}}$
$\boxed{{\displaystyle {\mathrm{sen}}^{2}x={\displaystyle \frac{1-\cos 2x}{2}}{\cos }^{2}x={\displaystyle \frac{1+\cos 2x}{2}}\mathrm{sen}2x=2\mathrm{sen}x\cos x}}$
y los cambios $\mathrm{sen}x=t$, $\cos x=t$ o $\mathrm{tg}x=t$, según lo que sobre en el integrando.

$\mathbf{\text{a)}}$ Exponente par: bajamos el grado con el ángulo doble. El doble de ${\displaystyle \frac{x}{2}}$ es $x$:
${\cos }^2{\displaystyle \frac{x}{2}}={\displaystyle \frac{1+\cos x}{2}}$
y ya es inmediata:
${\displaystyle \int {\cos }^2{\displaystyle \frac{x}{2}}dx={\displaystyle \frac{x}{2}}+\mathrm{sen}{\displaystyle \frac{x}{2}}\cos {\displaystyle \frac{x}{2}}+C}$


$\mathbf{\text{b)}}$ Primero se deshace el ángulo doble, para que todo quede en $x$:
$\mathrm{sen}2x=2\mathrm{sen}x\cos x$
Con el cambio $\cos x=t⟹dt=-\mathrm{sen}xdx$:
$-2{\displaystyle \int {\displaystyle \frac{t}{1+t}}dt=-2{\displaystyle \int (1-{\displaystyle \frac{1}{1+t}})dt=-2t+2\ln \mid 1+t\mid }}$
Y deshaciendo el cambio:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{\mathrm{sen}2x}{1+\cos x}}dx=2\ln \mid 1+\cos x\mid -2\cos x+C}$


$\mathbf{\text{c)}}$ Se pasa el denominador a senos con ${\cos }^{2}x=1-{\mathrm{sen}}^{2}x$:
$3+{\cos }^{2}x=4-{\mathrm{sen}}^{2}x$
Con el cambio $\mathrm{sen}x=t⟹dt=\cos xdx$ queda una racional:
$-{\displaystyle \int {\displaystyle \frac{dt}{4-t^2}}=-{\displaystyle \int {\displaystyle \frac{dt}{(2-t)(2+t)}}}}$
que se descompone en fracciones simples:
${\displaystyle \frac{1}{(2-t)(2+t)}}={\displaystyle \frac{1}{4}}({\displaystyle \frac{1}{2-t}}+{\displaystyle \frac{1}{2+t}})$
Integrando y deshaciendo el cambio:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{-\cos x}{3+{\cos }^{2}x}}dx={\displaystyle \frac{1}{4}}\ln \mid 2-\mathrm{sen}x\mid -{\displaystyle \frac{1}{4}}\ln \mid 2+\mathrm{sen}x\mid +C}$


$\mathbf{\text{d)}}$ Es la derivada de la tangente, pero con ángulo $2x$, así que hay que ajustar la constante:
${(\mathrm{tg}2x)}^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{2}{{\cos }^{2}2x}}$
Multiplicando y dividiendo por 2:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}2x}}dx={\displaystyle \frac{\mathrm{sen}2x}{2\cos 2x}}+C}$


$\mathbf{\text{e)}}$ Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado, que es lo que sugiere el enunciado:
${\displaystyle \frac{1}{1-\mathrm{sen}x}}={\displaystyle \frac{1+\mathrm{sen}x}{(1-\mathrm{sen}x)(1+\mathrm{sen}x)}}={\displaystyle \frac{1+\mathrm{sen}x}{1-{\mathrm{sen}}^{2}x}}={\displaystyle \frac{1+\mathrm{sen}x}{{\cos }^{2}x}}$
y esto se parte en dos trozos inmediatos:
$={\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}x}}+{\displaystyle \frac{\mathrm{sen}x}{{\cos }^{2}x}}$
El primero da la tangente y el segundo es potencial con $f(x)=\cos x$:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{1-\mathrm{sen}x}}dx=\mathrm{tg}x+{\displaystyle \frac{1}{\cos x}}+C}$