Ejercicio resuelto de Trigonométricas · Matemáticas I

Calcular las siguientes integrales trigonométricas no inmediatas, haciendo cambios o transformando los integrandos:

a) ${\displaystyle \int \cos x{\mathrm{ctg}}^{2}xdx}$
b) ${\displaystyle \int {\cos }^{2}3xdx}$
c) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}x+\mathrm{sen}x\cos x}}dx}$
d) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}x}}dx}$
e) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{{\mathrm{sen}}^{2}x}{1+\cos x}}dx}$

Ninguna de estas es inmediata tal y como viene: hay que transformar antes el integrando. Las herramientas son siempre las mismas:
$\boxed{{\displaystyle {\mathrm{sen}}^{2}x+{\cos }^{2}x=11+{\mathrm{tg}}^{2}x={\sec }^{2}x}}$
$\boxed{{\displaystyle {\mathrm{sen}}^{2}x={\displaystyle \frac{1-\cos 2x}{2}}{\cos }^{2}x={\displaystyle \frac{1+\cos 2x}{2}}\mathrm{sen}2x=2\mathrm{sen}x\cos x}}$
y los cambios $\mathrm{sen}x=t$, $\cos x=t$ o $\mathrm{tg}x=t$, según lo que sobre en el integrando.

$\mathbf{\text{a)}}$ Sustituimos la cotangente al cuadrado, como sugiere el enunciado:
${\mathrm{ctg}}^{2}x={\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{sen}}^{2}x}}-1$
con lo cual el integrando se parte en dos trozos inmediatos:
$\cos x{\mathrm{ctg}}^{2}x={\displaystyle \frac{\cos x}{{\mathrm{sen}}^{2}x}}-\cos x$
El primero es potencial con $f(x)=\mathrm{sen}x$ y el segundo, inmediato:
${\displaystyle \int \cos x{\mathrm{ctg}}^{2}xdx=-{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{sen}x}}-\mathrm{sen}x+C}$


$\mathbf{\text{b)}}$ El exponente es par, así que bajamos el grado con la fórmula del ángulo doble (aquí el ángulo es $3x$, y su doble $6x$):
${\cos }^{2}3x={\displaystyle \frac{1+\cos 6x}{2}}$
y ya es inmediata:
${\displaystyle \int {\cos }^{2}3xdx={\displaystyle \frac{x}{2}}+{\displaystyle \frac{\mathrm{sen}3x\cos 3x}{6}}+C}$


$\mathbf{\text{c)}}$ Dividimos numerador y denominador por ${\cos }^{2}x$ para que todo quede en tangentes, que es lo que pide el cambio $\mathrm{tg}x=t$:
${\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}x+\mathrm{sen}x\cos x}}={\displaystyle \frac{{\sec }^{2}x}{1+\mathrm{tg}x}}$
Y como ${(\mathrm{tg}x)}^{\mathrm{\prime }}={\sec }^{2}x$, el numerador es la derivada del denominador: logaritmo directo.
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}x+\mathrm{sen}x\cos x}}dx=-\ln (\mathrm{tg}{\displaystyle \frac{x}{2}}-1)-\ln (\mathrm{tg}{\displaystyle \frac{x}{2}}+1)+\ln ({\mathrm{tg}}^2{\displaystyle \frac{x}{2}}-2\mathrm{tg}{\displaystyle \frac{x}{2}}-1)+C}$


$\mathbf{\text{d)}}$ Esta sí es inmediata sin más que recordar la derivada de la tangente:
${(\mathrm{tg}x)}^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}x}}$
con lo cual:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}x}}dx={\displaystyle \frac{\mathrm{sen}x}{\cos x}}+C}$


$\mathbf{\text{e)}}$ Se simplifica el integrando usando ${\mathrm{sen}}^{2}x=1-{\cos }^{2}x$, que es una diferencia de cuadrados:
${\displaystyle \frac{{\mathrm{sen}}^{2}x}{1+\cos x}}={\displaystyle \frac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{1+\cos x}}=1-\cos x$
y lo que queda es inmediato:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{{\mathrm{sen}}^{2}x}{1+\cos x}}dx={\displaystyle \frac{x{\mathrm{tg}}^2{\displaystyle \frac{x}{2}}}{{\mathrm{tg}}^2{\displaystyle \frac{x}{2}}+1}}+{\displaystyle \frac{x}{{\mathrm{tg}}^2{\displaystyle \frac{x}{2}}+1}}-{\displaystyle \frac{2\mathrm{tg}{\displaystyle \frac{x}{2}}}{{\mathrm{tg}}^2{\displaystyle \frac{x}{2}}+1}}+C}$