Ejercicio resuelto de Trigonométricas · Matemáticas I

Calcular las siguientes integrales trigonométricas no inmediatas, haciendo cambios o transformando los integrandos:

a) ${\displaystyle \int {\cos }^{5}xdx}$
b) ${\displaystyle \int {\mathrm{sen}}^{5}xdx}$
c) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{\mathrm{sen}x+\mathrm{tg}x}{\cos x}}dx}$
d) ${\displaystyle \int {\mathrm{sen}}^{2}x{\cos }^{2}xdx}$
e) ${\displaystyle \int \sec xdx}$

Ninguna de estas es inmediata tal y como viene: hay que transformar antes el integrando. Las herramientas son siempre las mismas:
$\boxed{{\displaystyle {\mathrm{sen}}^{2}x+{\cos }^{2}x=11+{\mathrm{tg}}^{2}x={\sec }^{2}x}}$
$\boxed{{\displaystyle {\mathrm{sen}}^{2}x={\displaystyle \frac{1-\cos 2x}{2}}{\cos }^{2}x={\displaystyle \frac{1+\cos 2x}{2}}\mathrm{sen}2x=2\mathrm{sen}x\cos x}}$
y los cambios $\mathrm{sen}x=t$, $\cos x=t$ o $\mathrm{tg}x=t$, según lo que sobre en el integrando.

$\mathbf{\text{a)}}$ El exponente del coseno es IMPAR, así que se aparta un coseno para que haga de $dt$ y el resto se pasa a senos:
${\cos }^{5}x={\left({\cos }^{2}x\right)}^2\cos x={(1-{\mathrm{sen}}^{2}x)}^2\cos x$
Con el cambio $\mathrm{sen}x=t⟹dt=\cos xdx$:
${\displaystyle \int {(1-t^2)}^{2}dt={\displaystyle \int (1-2t^2+t^4)dt=t-{\displaystyle \frac{2t^3}{3}}+{\displaystyle \frac{t^5}{5}}}}$
Y deshaciendo el cambio:
${\displaystyle \int {\cos }^{5}xdx={\displaystyle \frac{{\mathrm{sen}}^{5}x}{5}}-{\displaystyle \frac{2{\mathrm{sen}}^{3}x}{3}}+\mathrm{sen}x+C}$


$\mathbf{\text{b)}}$ Igual que la anterior pero al revés: el exponente del seno es impar, se aparta un seno (que es $-dt$) y el resto se pasa a cosenos:
${\mathrm{sen}}^{5}x={(1-{\cos }^{2}x)}^2\mathrm{sen}x$
Con $\cos x=t⟹dt=-\mathrm{sen}xdx$:
$-{\displaystyle \int {(1-t^2)}^{2}dt=-t+{\displaystyle \frac{2t^3}{3}}-{\displaystyle \frac{t^5}{5}}}$
Y deshaciendo el cambio:
${\displaystyle \int {\mathrm{sen}}^{5}xdx=-{\displaystyle \frac{{\cos }^{5}x}{5}}+{\displaystyle \frac{2{\cos }^{3}x}{3}}-\cos x+C}$


$\mathbf{\text{c)}}$ Se descompone el integrando en dos sumandos, y en el segundo se escribe la tangente como seno entre coseno:
${\displaystyle \frac{\mathrm{sen}x+\mathrm{tg}x}{\cos x}}={\displaystyle \frac{\mathrm{sen}x}{\cos x}}+{\displaystyle \frac{\mathrm{tg}x}{\cos x}}={\displaystyle \frac{\mathrm{sen}x}{\cos x}}+{\displaystyle \frac{\mathrm{sen}x}{{\cos }^{2}x}}$
El primero es de tipo logarítmico (arriba está, salvo el signo, la derivada del denominador) y el segundo es de tipo potencial con $f(x)=\cos x$ y exponente $-2$. Integrando:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{\mathrm{sen}x}{\cos x}}dx=-\ln \mid \cos x\mid =\ln \mid \sec x\mid {\displaystyle \int {\displaystyle \frac{\mathrm{sen}x}{{\cos }^{2}x}}dx={\displaystyle \frac{1}{\cos x}}=\sec x}}$
Sumando los dos trozos:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{\mathrm{sen}x+\mathrm{tg}x}{\cos x}}dx=\sec x+\ln \mid \sec x\mid +C}$


$\mathbf{\text{d)}}$ Los dos exponentes son PARES, así que no sirve apartar un factor: hay que bajar el grado con las fórmulas del ángulo doble. Lo más rápido es reconocer el seno del ángulo doble:
$\mathrm{sen}x\cos x={\displaystyle \frac{\mathrm{sen}2x}{2}}⟹{\mathrm{sen}}^{2}x{\cos }^{2}x={\displaystyle \frac{{\mathrm{sen}}^{2}2x}{4}}$
y volver a bajar el grado:
${\displaystyle \frac{{\mathrm{sen}}^{2}2x}{4}}={\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{1-\cos 4x}{2}}={\displaystyle \frac{1-\cos 4x}{8}}$
que ya es inmediata:
${\displaystyle \int {\mathrm{sen}}^{2}x{\cos }^{2}xdx={\displaystyle \frac{x}{8}}-{\displaystyle \frac{\mathrm{sen}2x\cos 2x}{16}}+C}$


$\mathbf{\text{e)}}$ El truco clásico es multiplicar y dividir por $\sec x+\mathrm{tg}x$, porque entonces el numerador es justo la derivada del denominador:
$\sec x={\displaystyle \frac{\sec x(\sec x+\mathrm{tg}x)}{\sec x+\mathrm{tg}x}}={\displaystyle \frac{{\sec }^{2}x+\sec x\mathrm{tg}x}{\sec x+\mathrm{tg}x}}$
y la derivada de $\sec x+\mathrm{tg}x$ es $\sec x\mathrm{tg}x+{\sec }^{2}x$, así que es un logaritmo directo:
${\displaystyle \int \sec xdx=\ln \mid \sec x+\mathrm{tg}x\mid +C}$