Ejercicio resuelto de Trigonométricas · Matemáticas I

Calcular las siguientes integrales trigonométricas no inmediatas, haciendo cambios o transformando los integrandos:

a) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{\mathrm{sen}x\cos x}}dx}$
b) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{\mathrm{sen}x}{\cos x{\mathrm{sen}}^{2}x-\cos x}}dx}$
c) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{4}x}}dx}$
d) ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{{\mathrm{sen}}^{3}x}{\cos x}}dx}$
e) ${\displaystyle \int {\mathrm{sen}}^{2}x{\cos }^{3}xdx}$

Ninguna de estas es inmediata tal y como viene: hay que transformar antes el integrando. Las herramientas son siempre las mismas:
$\boxed{{\displaystyle {\mathrm{sen}}^{2}x+{\cos }^{2}x=11+{\mathrm{tg}}^{2}x={\sec }^{2}x}}$
y los cambios $\mathrm{sen}x=t$, $\cos x=t$ o $\mathrm{tg}x=t$, según lo que sobre en el integrando.

$\mathbf{\text{a)}}$ Dividimos numerador y denominador por ${\cos }^{2}x$ para dejarlo en tangentes:
${\displaystyle \frac{1}{\mathrm{sen}x\cos x}}={\displaystyle \frac{{\sec }^{2}x}{\mathrm{tg}x}}$
y como arriba está la derivada de $\mathrm{tg}x$, es un logaritmo:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{\mathrm{sen}x\cos x}}dx=-{\displaystyle \frac{\ln ({\mathrm{sen}}^{2}x-1)}{2}}+\ln (\mathrm{sen}x)+C}$


$\mathbf{\text{b)}}$ Sacamos factor común $\cos x$ en el denominador y usamos ${\mathrm{sen}}^{2}x-1=-{\cos }^{2}x$:
$\cos x{\mathrm{sen}}^{2}x-\cos x=\cos x({\mathrm{sen}}^{2}x-1)=-{\cos }^{3}x$
con lo cual el integrando se simplifica muchísimo:
${\displaystyle \frac{\mathrm{sen}x}{-{\cos }^{3}x}}=-{\displaystyle \frac{\mathrm{sen}x}{{\cos }^{3}x}}$
que es potencial con $f(x)=\cos x$:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{\mathrm{sen}x}{\cos x{\mathrm{sen}}^{2}x-\cos x}}dx=-{\displaystyle \frac{1}{2{\cos }^{2}x}}+C}$


$\mathbf{\text{c)}}$ Separamos un ${\sec }^{2}x$ para que haga de $dt$ y el resto se pasa a tangentes:
${\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{4}x}}={\sec }^{2}x\cdot {\sec }^{2}x=(1+{\mathrm{tg}}^{2}x){\sec }^{2}x$
Con el cambio $\mathrm{tg}x=t⟹dt={\sec }^{2}xdx$:
${\displaystyle \int (1+t^2)dt=t+{\displaystyle \frac{t^3}{3}}}$
Y deshaciendo el cambio:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{4}x}}dx={\displaystyle \frac{2\mathrm{sen}x}{3\cos x}}+{\displaystyle \frac{\mathrm{sen}x}{3{\cos }^{3}x}}+C}$


$\mathbf{\text{d)}}$ El exponente del seno es impar: apartamos un seno y el resto se pasa a cosenos:
${\displaystyle \frac{{\mathrm{sen}}^{3}x}{\cos x}}={\displaystyle \frac{(1-{\cos }^{2}x)\mathrm{sen}x}{\cos x}}$
Con $\cos x=t⟹dt=-\mathrm{sen}xdx$:
$-{\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1-t^2}{t}}dt=-{\displaystyle \int ({\displaystyle \frac{1}{t}}-t)dt=-\ln \mid t\mid +{\displaystyle \frac{t^2}{2}}}}$
Y deshaciendo el cambio:
${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{{\mathrm{sen}}^{3}x}{\cos x}}dx={\displaystyle \frac{{\cos }^{2}x}{2}}-\ln \mid \cos x\mid +C}$


$\mathbf{\text{e)}}$ El exponente del coseno es impar: apartamos un coseno y el resto se pasa a senos:
${\mathrm{sen}}^{2}x{\cos }^{3}x={\mathrm{sen}}^{2}x(1-{\mathrm{sen}}^{2}x)\cos x$
Con $\mathrm{sen}x=t⟹dt=\cos xdx$:
${\displaystyle \int (t^2-t^4)dt={\displaystyle \frac{t^3}{3}}-{\displaystyle \frac{t^5}{5}}}$
Y deshaciendo el cambio:
${\displaystyle \int {\mathrm{sen}}^{2}x{\cos }^{3}xdx=-{\displaystyle \frac{{\mathrm{sen}}^{5}x}{5}}+{\displaystyle \frac{{\mathrm{sen}}^{3}x}{3}}+C}$