Ejercicio resuelto de Repaso de polinomios · Matemáticas I

Dados los siguientes polinomios cuadráticos se pide: obtener sus raíces y comprobarlas, factorizarlos a partir de esas raíces y comprobar dicha factorización.

a) $x^2-5x+6$
b) $x^2-2x-8$
c) $x^2-6x+9$
d) $4x^2+23x-6$
e) $x^2+x+1$
f) $6x^2-7x+2$

Las raíces de un polinomio de segundo grado se obtienen con la fórmula de la ecuación de segundo grado, y con ellas se factoriza:
$\boxed{{\displaystyle x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}}}$
$\boxed{{\displaystyle a{x}^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)}}$
Si $b^2-4ac<0$ el polinomio no tiene raíces reales y no se puede factorizar.

$\mathbf{\text{a)}}$ Con $a=1,b=-5,c=6$:
$x={\displaystyle \frac{5\pm \sqrt{{(-5)}^2-4\cdot 1\cdot 6}}{2\cdot 1}}={\displaystyle \frac{5\pm 1}{2}}$
Las raíces son $x=2,x=3$.
Sustituyendo se comprueba que anulan el polinomio. Factorizamos con ellas:
$P(x)=(x-2)(x-3)$
Al desarrollar el producto se recupera $x^2-5x+6$.


$\mathbf{\text{b)}}$ Con $a=1,b=-2,c=-8$:
$x={\displaystyle \frac{2\pm \sqrt{{(-2)}^2-4\cdot 1\cdot (-8)}}{2\cdot 1}}={\displaystyle \frac{2\pm 6}{2}}$
Las raíces son $x=-2,x=4$.
Sustituyendo se comprueba que anulan el polinomio. Factorizamos con ellas:
$P(x)=(x+2)(x-4)$
Al desarrollar el producto se recupera $x^2-2x-8$.


$\mathbf{\text{c)}}$ Con $a=1,b=-6,c=9$:
$x={\displaystyle \frac{6\pm \sqrt{{(-6)}^2-4\cdot 1\cdot 9}}{2\cdot 1}}={\displaystyle \frac{6\pm 0}{2}}$
La raíz es $x=3$ (doble).
Sustituyendo se comprueba que anula el polinomio. Factorizamos con ella:
$P(x)={(x-3)}^2$
Al desarrollar el producto se recupera $x^2-6x+9$.


$\mathbf{\text{d)}}$ Con $a=4,b=23,c=-6$:
$x={\displaystyle \frac{-23\pm \sqrt{{23}^2-4\cdot 4\cdot (-6)}}{2\cdot 4}}={\displaystyle \frac{-23\pm 25}{8}}$
Las raíces son $x={\displaystyle \frac{1}{4}},x=-6$.
Sustituyendo se comprueba que anulan el polinomio. Factorizamos con ellas:
$P(x)=4(x-{\displaystyle \frac{1}{4}})(x+6)$
Al desarrollar el producto se recupera $4x^2+23x-6$.


$\mathbf{\text{e)}}$ Con $a=1,b=1,c=1$:
$b^2-4ac=1^2-4\cdot 1\cdot 1=-3<0$
Como el discriminante es negativo, el polinomio no tiene raíces reales y no se puede factorizar en el conjunto de los números reales.


$\mathbf{\text{f)}}$ Con $a=6,b=-7,c=2$:
$x={\displaystyle \frac{7\pm \sqrt{{(-7)}^2-4\cdot 6\cdot 2}}{2\cdot 6}}={\displaystyle \frac{7\pm 1}{12}}$
Las raíces son $x={\displaystyle \frac{1}{2}},x={\displaystyle \frac{2}{3}}$.
Sustituyendo se comprueba que anulan el polinomio. Factorizamos con ellas:
$P(x)=6(x-{\displaystyle \frac{1}{2}})(x-{\displaystyle \frac{2}{3}})$
Al desarrollar el producto se recupera $6x^2-7x+2$.