Ejercicio resuelto de Repaso de polinomios · Matemáticas I

Dadas las siguientes ecuaciones polinómicas se pide: resolverlas por Ruffini, comprobar las soluciones obtenidas sustituyéndolas en la ecuación y, a partir de sus raíces, factorizar el polinomio comprobando dicha factorización.

a) $x^4-6x^3+11x^2-6x=0$
b) $6x^4+11x^3-28x^2-15x+18=0$
c) $x^3+3x^2-10x-24=0$
d) $x^3+2x^2-15x-36=0$
e) $x^3-3x^2+3x-1=0$

Una ecuación polinómica se resuelve factorizando el polinomio: se buscan sus raíces con Ruffini entre los divisores del término independiente y se aplica que un producto es cero cuando lo es alguno de sus factores:
$\boxed{{\displaystyle a_n(x-x_1)\cdots (x-x_n)=0⟺x=x_1,\dots ,x=x_n}}$

$\mathbf{\text{a)}}$ El término independiente es cero, así que $x=0$ es raíz: sacamos $x$ factor común y seguimos con el resto.
$\begin{array}{rrrrrr}& 1& -6& 11& -6& 0\\ 0& & 0& 0& 0& 0\\ & 1& -6& 11& -6& 0\\ 1& & 1& -5& 6\\ & 1& -5& 6& 0\\ 2& & 2& -6\\ & 1& -3& 0\\ 3& & 3\\ & 1& 0\end{array}$
Cada cero final confirma una raíz, luego $x=0,x=1,x=2,x=3$.
Sustituyendo en el polinomio se comprueba que, en efecto, $P\left(0\right)=0,P\left(1\right)=0,P\left(2\right)=0,P\left(3\right)=0$.
Factorizamos a partir de sus raíces:
$P(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)$
Al desarrollar el producto se recupera $P(x)=x^4-6x^3+11x^2-6x$, lo que comprueba la factorización.


$\mathbf{\text{b)}}$ Las posibles raíces racionales enteras son los divisores del término independiente: $\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6,\pm 9,\pm 18$. Probamos con Ruffini:
$\begin{array}{rrrrrr}& 6& 11& -28& -15& 18\\ {\displaystyle \frac{2}{3}}& & 4& 10& -12& -18\\ & 6& 15& -18& -27& 0\\ -1& & -6& -9& 27\\ & 6& 9& -27& 0\\ {\displaystyle \frac{3}{2}}& & 9& 27\\ & 6& 18& 0\\ -3& & -18\\ & 6& 0\end{array}$
Cada cero final confirma una raíz, luego $x={\displaystyle \frac{2}{3}},x=-1,x={\displaystyle \frac{3}{2}},x=-3$.
Sustituyendo en el polinomio se comprueba que, en efecto, $P\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)=0,P(-1)=0,P\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)=0,P(-3)=0$.
Factorizamos a partir de sus raíces:
$P(x)=6(x-{\displaystyle \frac{2}{3}})(x+1)(x-{\displaystyle \frac{3}{2}})(x+3)$
Al desarrollar el producto se recupera $P(x)=6x^4+11x^3-28x^2-15x+18$, lo que comprueba la factorización.


$\mathbf{\text{c)}}$ Las posibles raíces racionales enteras son los divisores del término independiente: $\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 4,\pm 6,\pm 8,\pm 12,\pm 24$. Probamos con Ruffini:
$\begin{array}{rrrrr}& 1& 3& -10& -24\\ -2& & -2& -2& 24\\ & 1& 1& -12& 0\\ 3& & 3& 12\\ & 1& 4& 0\\ -4& & -4\\ & 1& 0\end{array}$
Cada cero final confirma una raíz, luego $x=-2,x=3,x=-4$.
Sustituyendo en el polinomio se comprueba que, en efecto, $P(-2)=0,P\left(3\right)=0,P(-4)=0$.
Factorizamos a partir de sus raíces:
$P(x)=(x+2)(x-3)(x+4)$
Al desarrollar el producto se recupera $P(x)=x^3+3x^2-10x-24$, lo que comprueba la factorización.


$\mathbf{\text{d)}}$ Las posibles raíces racionales enteras son los divisores del término independiente: $\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 4,\pm 6,\pm 9,\pm 12,\pm 18,\pm 36$. Probamos con Ruffini:
$\begin{array}{rrrrr}& 1& 2& -15& -36\\ -3& & -3& 3& 36\\ & 1& -1& -12& 0\\ -3& & -3& 12\\ & 1& -4& 0\\ 4& & 4\\ & 1& 0\end{array}$
Cada cero final confirma una raíz, luego $x=-3,x=4$ ($x=-3$ es raíz doble).
Sustituyendo en el polinomio se comprueba que, en efecto, $P(-3)=0,P\left(4\right)=0$.
Factorizamos a partir de sus raíces:
$P(x)={(x+3)}^2(x-4)$
Al desarrollar el producto se recupera $P(x)=x^3+2x^2-15x-36$, lo que comprueba la factorización.


$\mathbf{\text{e)}}$ Las posibles raíces racionales enteras son los divisores del término independiente: $\pm 1$. Probamos con Ruffini:
$\begin{array}{rrrrr}& 1& -3& 3& -1\\ 1& & 1& -2& 1\\ & 1& -2& 1& 0\\ 1& & 1& -1\\ & 1& -1& 0\\ 1& & 1\\ & 1& 0\end{array}$
Cada cero final confirma una raíz, luego $x=1$ ($x=1$ es raíz triple).
Sustituyendo en el polinomio se comprueba que, en efecto, $P\left(1\right)=0$.
Factorizamos a partir de sus raíces:
$P(x)={(x-1)}^3$
Al desarrollar el producto se recupera $P(x)=x^3-3x^2+3x-1$, lo que comprueba la factorización.