Ejercicio resuelto de Repaso de polinomios · Matemáticas I

Dados los siguientes polinomios se pide: obtener sus raíces por Ruffini, comprobar dichas raíces sustituyéndolas en $P(x)$, y factorizar $P(x)$ a partir de sus raíces comprobando dicha factorización.

a) $P(x)=x^4+4x^3+7x^2+8x+4$
b) $P(x)=6x^3+7x^2-9x+2$
c) $P(x)=x^4-x^3+2x^2-4x-8$
d) $P(x)=x^4-5x^3+5x^2+5x-6$
e) $P(x)=x^4-3x^3+5x^2-9x+6$
f) $P(x)=x^4-5x^2+4$

Por el teorema del factor, $x=a$ es raíz de $P(x)$ si $P(a)=0$, y entonces $x-a$ es factor suyo. Las posibles raíces racionales enteras están entre los divisores del término independiente, y se tantean con Ruffini hasta agotar el polinomio:
$\boxed{{\displaystyle P(x)=a_n(x-x_1)(x-x_2)\cdots (x-x_n)}}$

$\mathbf{\text{a)}}$ Las posibles raíces racionales enteras son los divisores del término independiente: $\pm 1,\pm 2,\pm 4$. Probamos con Ruffini:
$\begin{array}{rrrrrr}& 1& 4& 7& 8& 4\\ -1& & -1& -3& -4& -4\\ & 1& 3& 4& 4& 0\\ -2& & -2& -2& -4\\ & 1& 1& 2& 0\end{array}$
Cada cero final confirma una raíz, luego $x=-1,x=-2$.
Sustituyendo en el polinomio se comprueba que, en efecto, $P(-1)=0,P(-2)=0$.
Factorizamos a partir de sus raíces:
$P(x)=(x+1)(x+2)(x^2+x+2)$
El factor $x^2+x+2$ no tiene raíces reales, así que ya no se puede descomponer más en el conjunto de los números reales.
Al desarrollar el producto se recupera $P(x)=x^4+4x^3+7x^2+8x+4$, lo que comprueba la factorización.


$\mathbf{\text{b)}}$ Las posibles raíces racionales enteras son los divisores del término independiente: $\pm 1,\pm 2$. Probamos con Ruffini:
$\begin{array}{rrrrr}& 6& 7& -9& 2\\ {\displaystyle \frac{1}{3}}& & 2& 3& -2\\ & 6& 9& -6& 0\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}& & 3& 6\\ & 6& 12& 0\\ -2& & -12\\ & 6& 0\end{array}$
Cada cero final confirma una raíz, luego $x={\displaystyle \frac{1}{3}},x={\displaystyle \frac{1}{2}},x=-2$.
Sustituyendo en el polinomio se comprueba que, en efecto, $P\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)=0,P\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)=0,P(-2)=0$.
Factorizamos a partir de sus raíces:
$P(x)=6(x-{\displaystyle \frac{1}{3}})(x-{\displaystyle \frac{1}{2}})(x+2)$
Al desarrollar el producto se recupera $P(x)=6x^3+7x^2-9x+2$, lo que comprueba la factorización.


$\mathbf{\text{c)}}$ Las posibles raíces racionales enteras son los divisores del término independiente: $\pm 1,\pm 2,\pm 4,\pm 8$. Probamos con Ruffini:
$\begin{array}{rrrrrr}& 1& -1& 2& -4& -8\\ -1& & -1& 2& -4& 8\\ & 1& -2& 4& -8& 0\\ 2& & 2& 0& 8\\ & 1& 0& 4& 0\end{array}$
Cada cero final confirma una raíz, luego $x=-1,x=2$.
Sustituyendo en el polinomio se comprueba que, en efecto, $P(-1)=0,P\left(2\right)=0$.
Factorizamos a partir de sus raíces:
$P(x)=(x+1)(x-2)(x^2+4)$
El factor $x^2+4$ no tiene raíces reales, así que ya no se puede descomponer más en el conjunto de los números reales.
Al desarrollar el producto se recupera $P(x)=x^4-x^3+2x^2-4x-8$, lo que comprueba la factorización.


$\mathbf{\text{d)}}$ Las posibles raíces racionales enteras son los divisores del término independiente: $\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6$. Probamos con Ruffini:
$\begin{array}{rrrrrr}& 1& -5& 5& 5& -6\\ 1& & 1& -4& 1& 6\\ & 1& -4& 1& 6& 0\\ -1& & -1& 5& -6\\ & 1& -5& 6& 0\\ 2& & 2& -6\\ & 1& -3& 0\\ 3& & 3\\ & 1& 0\end{array}$
Cada cero final confirma una raíz, luego $x=1,x=-1,x=2,x=3$.
Sustituyendo en el polinomio se comprueba que, en efecto, $P\left(1\right)=0,P(-1)=0,P\left(2\right)=0,P\left(3\right)=0$.
Factorizamos a partir de sus raíces:
$P(x)=(x-1)(x+1)(x-2)(x-3)$
Al desarrollar el producto se recupera $P(x)=x^4-5x^3+5x^2+5x-6$, lo que comprueba la factorización.


$\mathbf{\text{e)}}$ Las posibles raíces racionales enteras son los divisores del término independiente: $\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6$. Probamos con Ruffini:
$\begin{array}{rrrrrr}& 1& -3& 5& -9& 6\\ 1& & 1& -2& 3& -6\\ & 1& -2& 3& -6& 0\\ 2& & 2& 0& 6\\ & 1& 0& 3& 0\end{array}$
Cada cero final confirma una raíz, luego $x=1,x=2$.
Sustituyendo en el polinomio se comprueba que, en efecto, $P\left(1\right)=0,P\left(2\right)=0$.
Factorizamos a partir de sus raíces:
$P(x)=(x-1)(x-2)(x^2+3)$
El factor $x^2+3$ no tiene raíces reales, así que ya no se puede descomponer más en el conjunto de los números reales.
Al desarrollar el producto se recupera $P(x)=x^4-3x^3+5x^2-9x+6$, lo que comprueba la factorización.


$\mathbf{\text{f)}}$ Las posibles raíces racionales enteras son los divisores del término independiente: $\pm 1,\pm 2,\pm 4$. Probamos con Ruffini:
$\begin{array}{rrrrrr}& 1& 0& -5& 0& 4\\ 1& & 1& 1& -4& -4\\ & 1& 1& -4& -4& 0\\ -1& & -1& 0& 4\\ & 1& 0& -4& 0\\ 2& & 2& 4\\ & 1& 2& 0\\ -2& & -2\\ & 1& 0\end{array}$
Cada cero final confirma una raíz, luego $x=1,x=-1,x=2,x=-2$.
Sustituyendo en el polinomio se comprueba que, en efecto, $P\left(1\right)=0,P(-1)=0,P\left(2\right)=0,P(-2)=0$.
Factorizamos a partir de sus raíces:
$P(x)=(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)$
Al desarrollar el producto se recupera $P(x)=x^4-5x^2+4$, lo que comprueba la factorización.
También se puede hacer con el cambio $t=x^2$, como una ecuación bicuadrada.