Ejercicio resuelto de Repaso de polinomios · Matemáticas I

Dados los siguientes polinomios se pide: obtener sus raíces por Ruffini, comprobar dichas raíces sustituyéndolas en $P(x)$, y factorizar $P(x)$ a partir de sus raíces comprobando dicha factorización.

a) $P(x)=x^4-5x^2-36$
b) $P(x)=x^4-2x^3-2x^2-2x-3$
c) $P(x)=x^4-6x^2+7x-6$
d) $P(x)=x^4-3x^3-3x^2+7x+6$
e) $P(x)=12x^4-25x^3+25x-12$
f) $P(x)=2x^4-x^3+6x^2-7x$

Por el teorema del factor, $x=a$ es raíz de $P(x)$ si $P(a)=0$, y entonces $x-a$ es factor suyo. Las posibles raíces racionales enteras están entre los divisores del término independiente, y se tantean con Ruffini hasta agotar el polinomio:
$\boxed{{\displaystyle P(x)=a_n(x-x_1)(x-x_2)\cdots (x-x_n)}}$

$\mathbf{\text{a)}}$ Las posibles raíces racionales enteras son los divisores del término independiente: $\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 4,\pm 6,\pm 9,\pm 12,\pm 18,\pm 36$. Probamos con Ruffini:
$\begin{array}{rrrrrr}& 1& 0& -5& 0& -36\\ 3& & 3& 9& 12& 36\\ & 1& 3& 4& 12& 0\\ -3& & -3& 0& -12\\ & 1& 0& 4& 0\end{array}$
Cada cero final confirma una raíz, luego $x=3,x=-3$.
Sustituyendo en el polinomio se comprueba que, en efecto, $P\left(3\right)=0,P(-3)=0$.
Factorizamos a partir de sus raíces:
$P(x)=(x-3)(x+3)(x^2+4)$
El factor $x^2+4$ no tiene raíces reales, así que ya no se puede descomponer más en el conjunto de los números reales.
Al desarrollar el producto se recupera $P(x)=x^4-5x^2-36$, lo que comprueba la factorización.
También se puede hacer con el cambio $t=x^2$, como una ecuación bicuadrada.


$\mathbf{\text{b)}}$ Las posibles raíces racionales enteras son los divisores del término independiente: $\pm 1,\pm 3$. Probamos con Ruffini:
$\begin{array}{rrrrrr}& 1& -2& -2& -2& -3\\ -1& & -1& 3& -1& 3\\ & 1& -3& 1& -3& 0\\ 3& & 3& 0& 3\\ & 1& 0& 1& 0\end{array}$
Cada cero final confirma una raíz, luego $x=-1,x=3$.
Sustituyendo en el polinomio se comprueba que, en efecto, $P(-1)=0,P\left(3\right)=0$.
Factorizamos a partir de sus raíces:
$P(x)=(x+1)(x-3)(x^2+1)$
El factor $x^2+1$ no tiene raíces reales, así que ya no se puede descomponer más en el conjunto de los números reales.
Al desarrollar el producto se recupera $P(x)=x^4-2x^3-2x^2-2x-3$, lo que comprueba la factorización.


$\mathbf{\text{c)}}$ Las posibles raíces racionales enteras son los divisores del término independiente: $\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6$. Probamos con Ruffini:
$\begin{array}{rrrrrr}& 1& 0& -6& 7& -6\\ 2& & 2& 4& -4& 6\\ & 1& 2& -2& 3& 0\\ -3& & -3& 3& -3\\ & 1& -1& 1& 0\end{array}$
Cada cero final confirma una raíz, luego $x=2,x=-3$.
Sustituyendo en el polinomio se comprueba que, en efecto, $P\left(2\right)=0,P(-3)=0$.
Factorizamos a partir de sus raíces:
$P(x)=(x-2)(x+3)(x^2-x+1)$
El factor $x^2-x+1$ no tiene raíces reales, así que ya no se puede descomponer más en el conjunto de los números reales.
Al desarrollar el producto se recupera $P(x)=x^4-6x^2+7x-6$, lo que comprueba la factorización.


$\mathbf{\text{d)}}$ Las posibles raíces racionales enteras son los divisores del término independiente: $\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6$. Probamos con Ruffini:
$\begin{array}{rrrrrr}& 1& -3& -3& 7& 6\\ -1& & -1& 4& -1& -6\\ & 1& -4& 1& 6& 0\\ -1& & -1& 5& -6\\ & 1& -5& 6& 0\\ 2& & 2& -6\\ & 1& -3& 0\\ 3& & 3\\ & 1& 0\end{array}$
Cada cero final confirma una raíz, luego $x=-1,x=2,x=3$ ($x=-1$ es raíz doble).
Sustituyendo en el polinomio se comprueba que, en efecto, $P(-1)=0,P\left(2\right)=0,P\left(3\right)=0$.
Factorizamos a partir de sus raíces:
$P(x)={(x+1)}^2(x-2)(x-3)$
Al desarrollar el producto se recupera $P(x)=x^4-3x^3-3x^2+7x+6$, lo que comprueba la factorización.


$\mathbf{\text{e)}}$ Las posibles raíces racionales enteras son los divisores del término independiente: $\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 4,\pm 6,\pm 12$. Probamos con Ruffini:
$\begin{array}{rrrrrr}& 12& -25& 0& 25& -12\\ {\displaystyle \frac{3}{4}}& & 9& -12& -9& 12\\ & 12& -16& -12& 16& 0\\ 1& & 12& -4& -16\\ & 12& -4& -16& 0\\ -1& & -12& 16\\ & 12& -16& 0\\ {\displaystyle \frac{4}{3}}& & 16\\ & 12& 0\end{array}$
Cada cero final confirma una raíz, luego $x={\displaystyle \frac{3}{4}},x=1,x=-1,x={\displaystyle \frac{4}{3}}$.
Sustituyendo en el polinomio se comprueba que, en efecto, $P\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)=0,P\left(1\right)=0,P(-1)=0,P\left({\displaystyle \frac{4}{3}}\right)=0$.
Factorizamos a partir de sus raíces:
$P(x)=12(x-{\displaystyle \frac{3}{4}})(x-1)(x+1)(x-{\displaystyle \frac{4}{3}})$
Al desarrollar el producto se recupera $P(x)=12x^4-25x^3+25x-12$, lo que comprueba la factorización.


$\mathbf{\text{f)}}$ El término independiente es cero, así que $x=0$ es raíz: sacamos $x$ factor común y seguimos con el resto.
$\begin{array}{rrrrrr}& 2& -1& 6& -7& 0\\ 0& & 0& 0& 0& 0\\ & 2& -1& 6& -7& 0\\ 1& & 2& 1& 7\\ & 2& 1& 7& 0\end{array}$
Cada cero final confirma una raíz, luego $x=0,x=1$.
Sustituyendo en el polinomio se comprueba que, en efecto, $P\left(0\right)=0,P\left(1\right)=0$.
Factorizamos a partir de sus raíces:
$P(x)=2x(x-1)(x^2+{\displaystyle \frac{x}{2}}+{\displaystyle \frac{7}{2}})$
El factor $x^2+{\displaystyle \frac{x}{2}}+{\displaystyle \frac{7}{2}}$ no tiene raíces reales, así que ya no se puede descomponer más en el conjunto de los números reales.
Al desarrollar el producto se recupera $P(x)=2x^4-x^3+6x^2-7x$, lo que comprueba la factorización.