Matemáticas I · Derivadas usando la regla de la cadena

Ejercicio resuelto de Matemáticas I

Calcular la derivada de las siguientes funciones:

a) f(x)=sen⁡(3x2−3x)

b) f(x)=sen⁡(−x)+x

c) f(x)=cos⁡9x

d) f(x)=cos⁡3x2

e) f(x)=cos⁡(5x2−x3)

Solución

Usamos la regla de la cadena (g∘u)′(x)=g′(u(x))⋅u′(x) junto con las derivadas base:

(eu)′=eu⋅u′,\; (ln⁡u)′=u′u,\; (sen⁡u)′=cos⁡u⋅u′,\; (cos⁡u)′=−sen⁡u⋅u′,\; (tg⁡u)′=u′cos⁡2u,\; (arctg⁡u)′=u′1+u2.

a) Con u=3x2−3x, u′=6x−3: f′(x)=(6x−3)cos⁡(3x2−3x)

b) Como el coseno es par, cos⁡(−x)=cos⁡x; con u=−x, u′=−1: f′(x)=cos⁡(−x)⋅(−1)+1=−cos⁡x+1=1−cos⁡x

c) Con u=9x, u′=9: f′(x)=−sen⁡9x⋅9=−9sen⁡9x

d) Con u=3x2, u′=6x: f′(x)=−sen⁡(3x2)⋅6x=−6xsen⁡3x2

e) Con u=5x2−x3, u′=10x−3x2: f′(x)=−(10x−3x2)sen⁡(5x2−x3)=(3x2−10x)sen⁡(5x2−x3)

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