Matemáticas I · Derivadas usando la regla de la cadena

Ejercicio resuelto de Matemáticas I

Calcular la derivada de las siguientes funciones:

a) f(x)=e1x

b) f(x)=ln⁡10x

c) f(x)=ln⁡(5x2−2x)

d) f(x)=ln⁡x

e) f(x)=sen⁡7x

Solución

Usamos la regla de la cadena (g∘u)′(x)=g′(u(x))⋅u′(x) junto con las derivadas base:

(eu)′=eu⋅u′,\; (ln⁡u)′=u′u,\; (sen⁡u)′=cos⁡u⋅u′,\; (cos⁡u)′=−sen⁡u⋅u′,\; (tg⁡u)′=u′cos⁡2u,\; (arctg⁡u)′=u′1+u2.

a) u=1x, u′=−1x2, luego f′(x)=e1/x⋅(−1x2)=−e1/xx2

b) Con u=10x, u′=10: f′(x)=1010x=1x

c) Con u=5x2−2x, u′=10x−2: f′(x)=10x−25x2−2x

d) Usando una propiedad de los logaritmos, f(x)=ln⁡x1/2=12ln⁡x, luego f′(x)=12⋅1x=12x

e) Con u=7x, u′=7: f′(x)=cos⁡7x⋅7=7cos⁡7x

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