Ejercicio resuelto de Rendimiento y riqueza · Física y Química I

Quemamos $5\text{ litros}$ de octano (uno de los componentes de la gasolina). Se pide:

$\mathbf{\text{a)}}$ Volumen de aire, medido a $20\text{ °C}$ y $800\text{ mm de Hg}$, que se gastará en la combustión. El porcentaje en volumen de oxígeno en el aire es del $21\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{b)}}$ Masa de agua que se obtiene sabiendo que el proceso tiene un rendimiento del $80\mathrm{\%}$.

Datos: masas atómicas en uma: $\text{C}=12$; $\text{H}=1$; $\text{O}=16$; $R=\mathrm{0,082}\text{ atm}\cdot \text{L/(mol}\cdot \text{K)}$; densidad del octano $=\mathrm{0,8}\text{ g/mL}$.

Escribimos y ajustamos la reacción de combustión del octano $({\text{C}}_8{\text{H}}_{18})$, anotando los datos que nos dan y lo que nos piden calcular:

${\text{C}}_8{\text{H}}_{18}+{\displaystyle \frac{25}{2}}{\text{O}}_2\to 8{\text{CO}}_2+9{\text{H}}_2\text{O}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Volumen}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{aire}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{combusti}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}$

Hallamos en primer lugar el número de moles de octano que se queman. A partir de la densidad $d={\displaystyle \frac{m}{V}}$, la masa de $5\text{ L}=5000\text{ mL}$ de octano es:

$m=d\cdot V=\mathrm{0,8}\cdot 5000=4000{\text{g de C}}_8{\text{H}}_{18}$

Con $M_{{\text{C}}_8{\text{H}}_{18}}=114\text{ g/mol}$:

$n={\displaystyle \frac{m}{M}}={\displaystyle \frac{4000}{114}}=\mathrm{35,088}{\text{mol de C}}_8{\text{H}}_{18}$

El número de moles de ${\text{O}}_2$ necesarios, según la estequiometría $(1{\text{mol C}}_8{\text{H}}_{18}:{\displaystyle \frac{25}{2}}{\text{mol O}}_2)$, es:

${\displaystyle \frac{1{\text{mol C}}_8{\text{H}}_{18}}{\mathrm{35,088}\text{ mol}}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{25}{2}}{\text{mol O}}_2}{x}}\Rightarrow x=\mathrm{438,60}{\text{mol de O}}_2$

El volumen que ocupan esos moles de ${\text{O}}_2$ en las condiciones dadas $(T=293\text{ K},P={\displaystyle \frac{800}{760}}=\mathrm{1,0526}\text{ atm})$ se obtiene de la ecuación de los gases ideales $PV=nRT$:

$V={\displaystyle \frac{nRT}{P}}={\displaystyle \frac{\mathrm{438,60}\cdot \mathrm{0,082}\cdot 293}{\mathrm{1,0526}}}=\mathrm{10010,83}{\text{L de O}}_2$

Como en el aire hay un $21\mathrm{\%}$ en volumen de ${\text{O}}_2$, el volumen de aire necesario para la combustión es:

${\displaystyle \frac{100\text{ L de aire}}{x}}={\displaystyle \frac{21{\text{L de O}}_2}{\mathrm{10010,83}{\text{L de O}}_2}}\Rightarrow x=\boxed{{\displaystyle \mathrm{47670,63}\text{ L de aire}}}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Masa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{agua}}\mathbf{\text{obtenida}}\mathbf{\text{(rendimiento}}\mathbf{\text{80\%)}}$

Hallamos en primer lugar la masa teórica de agua que se obtiene. Por estequiometría, por cada mol de octano se forman $9{\text{mol de H}}_2\text{O}$:

${\displaystyle \frac{1{\text{mol C}}_8{\text{H}}_{18}}{\mathrm{35,088}\text{ mol}}}={\displaystyle \frac{9{\text{mol H}}_2\text{O}}{x}}\Rightarrow x=\mathrm{315,79}{\text{mol de H}}_2\text{O}$

Que, con $M_{{\text{H}}_2\text{O}}=18\text{ g/mol}$, en masa son:

$m=n\cdot M=\mathrm{315,79}\cdot 18=\mathrm{5684,22}{\text{g de H}}_2\text{O}$

La masa real de agua que se obtiene es el $80\mathrm{\%}$ de la cantidad anterior, es decir:

$m_{\text{real}}=\mathrm{0,80}\cdot \mathrm{5684,22}=\boxed{{\displaystyle \mathrm{4547,37}{\text{g de H}}_2\text{O}}}$