Ejercicio resuelto de Matemáticas I

Calcula la derivada de la siguiente función:

$y={\displaystyle \frac{4}{\sqrt{x^3+5}}}$

La función es $y={\displaystyle \frac{4}{\sqrt{x^3+5}}}$, que conviene reescribir con exponente fraccionario:

$y=4\cdot (x^3+5{)}^{-1\mathrm{/}2}$

$\mathbf{\text{M}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{todo}}\mathbf{\text{1:}}\mathbf{\text{regla}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cadena}}$

Derivamos la potencia y multiplicamos por la derivada de la base $(x^3+5{)}^{\mathrm{\prime }}=3x^2$:

$y^{\mathrm{\prime }}=4\cdot (-{\displaystyle \frac{1}{2}})(x^3+5{)}^{-3\mathrm{/}2}\cdot 3x^2$

$y^{\mathrm{\prime }}=-{\displaystyle \frac{4\cdot 3}{2}}{x}^2(x^3+5{)}^{-3\mathrm{/}2}=-6x^2(x^3+5{)}^{-3\mathrm{/}2}$

Volviendo a la notación con radical:

$y^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{-6x^2}{(x^3+5)\sqrt{x^3+5}}}$

$\mathbf{\text{M}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{todo}}\mathbf{\text{2}}\mathbf{\text{(comprobaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n):}}\mathbf{\text{regla}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{cociente}}$

Con $p=4$ (así $p^{\mathrm{\prime }}=0$) y $q=\sqrt{x^3+5}$, cuya derivada es $q^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{3x^2}{2\sqrt{x^3+5}}}$.

Aplicando ${\displaystyle \frac{p^{\mathrm{\prime }}q-p{q}^{\mathrm{\prime }}}{q^2}}$:

$y^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{0\cdot \sqrt{x^3+5}-4\cdot {\displaystyle \frac{3x^2}{2\sqrt{x^3+5}}}}{(\sqrt{x^3+5}{)}^2}}={\displaystyle \frac{-{\displaystyle \frac{6x^2}{\sqrt{x^3+5}}}}{x^3+5}}={\displaystyle \frac{-6x^2}{(x^3+5)\sqrt{x^3+5}}}$

Las dos vías coinciden. Como en el dominio de la función se tiene $x^3+5>0$, podemos agrupar también el radical:

$y^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{-6x^2}{(x^3+5)\sqrt{x^3+5}}}={\displaystyle \frac{-6x^2}{\sqrt{(x^3+5{)}^3}}}$