Ejercicio resuelto de Matemáticas I

Calcula la derivada de la siguiente función:

$y={\ln }^3(x-3)$

La función es $y=[\ln (x-3){]}^3$. Es una potencia de una función, así que aplicamos la regla de la cadena.

Llamamos $u=\ln (x-3)$. Entonces $y=u^3$ y al derivar la potencia:

$y^{\mathrm{\prime }}=3u^2\cdot u^{\mathrm{\prime }}$

Ahora derivamos $u$. Como $u=\ln (x-3)$, su derivada es $u^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{x-3}}$ (derivada del logaritmo neperiano por la derivada de su argumento, que es $1$).

Sustituyendo $u$ y $u^{\mathrm{\prime }}$:

$y^{\mathrm{\prime }}=3(\ln (x-3){)}^2\cdot {\displaystyle \frac{1}{x-3}}$

Es decir, agrupando en una sola fracción:

$y^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{3(\ln (x-3){)}^2}{x-3}}$