Ejercicio resuelto de Matemáticas I

Calcula la derivada de la siguiente función:

$y={\ln }^2((x^3-2x{)}^4)$

La función es $y=[\ln ((x^3-2x{)}^4){]}^2$, una potencia cuadrada de un logaritmo. Aplicamos la regla de la cadena por capas.

$\mathbf{\text{Paso}}\mathbf{\text{1.}}$ Llamamos $w=\ln ((x^3-2x{)}^4)$, de modo que $y=w^2$. Entonces

$y^{\mathrm{\prime }}=2w\cdot w^{\mathrm{\prime }}$

$\mathbf{\text{Paso}}\mathbf{\text{2.}}$ Derivamos $w$. Conviene usar la propiedad $\ln (a^4)=4\ln a$, así $w=4\ln (x^3-2x)$ y, como $(\ln u{)}^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{u^{\mathrm{\prime }}}{u}}$ con $u=x^3-2x$ y $u^{\mathrm{\prime }}=3x^2-2$:

$w^{\mathrm{\prime }}=4\cdot {\displaystyle \frac{3x^2-2}{x^3-2x}}={\displaystyle \frac{4(3x^2-2)}{x^3-2x}}$

$\mathbf{\text{Paso}}\mathbf{\text{3.}}$ Sustituimos en $y^{\mathrm{\prime }}=2w\cdot w^{\mathrm{\prime }}$:

$y^{\mathrm{\prime }}=2\ln ((x^3-2x{)}^4)\cdot {\displaystyle \frac{4(3x^2-2)}{x^3-2x}}$

Como $\ln ((x^3-2x{)}^4)=4\ln (x^3-2x)$, la derivada también puede escribirse de forma totalmente simplificada:

$y^{\mathrm{\prime }}=8\ln (x^3-2x)\cdot {\displaystyle \frac{4(3x^2-2)}{x^3-2x}}={\displaystyle \frac{32(3x^2-2)\ln (x^3-2x)}{x^3-2x}}$

$\mathbf{\text{Comprobaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}$ Si en lugar de simplificar el logaritmo derivamos directamente $w=\ln (u)$ con $u=(x^3-2x{)}^4$ y $u^{\mathrm{\prime }}=4(x^3-2x{)}^3(3x^2-2)$, obtenemos

$w^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{4(x^3-2x{)}^3\cdot (3x^2-2)}{(x^3-2x{)}^4}}={\displaystyle \frac{4(3x^2-2)}{x^3-2x}}$

que coincide con lo anterior, confirmando el resultado.