Ejercicio resuelto de Cálculo de límites · Matemáticas I

Calcula los siguientes límites (varias indeterminaciones):

1) ${\displaystyle \underset{x\to 1}{\lim }\frac{3x^2+x-2}{x^3+x^2-x-1}}$

2) ${\displaystyle \underset{x\to 3}{\lim }[\frac{2x}{x^2-9}-\frac{x+1}{x-3}]}$

3) ${\displaystyle \underset{x\to 1}{\lim }{\left(\frac{2x+4}{x^2-x+6}\right)}^{\frac{3x}{x-1}}}$

4) ${\displaystyle \underset{x\to 2}{\lim }{\left(\frac{3x-2}{x^2-2x+4}\right)}^{\frac{x}{x-2}}}$

5) ${\displaystyle \underset{x\to 3}{\lim }{\left(\frac{2x^2-x+1}{4x+4}\right)}^{\frac{2x}{x-3}}}$

Recordamos las herramientas: para la indeterminación $\left[{\displaystyle \frac{0}{0}}\right]$ factorizamos y simplificamos; para $[\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }]$ con cocientes operamos con común denominador (o multiplicamos por el conjugado en las raíces); y para $[1^{\mathrm{\infty }}]$ usamos $\lim f^g=e^{\lim g(f-1)}$.

$\mathbf{\text{1)}}$ Forma $\left[{\displaystyle \frac{0}{0}}\right]$. Factorizamos: $3x^2+x-2=(x+1)(3x-2)$ y $x^3+x^2-x-1=x^2(x+1)-(x+1)=(x+1)(x^2-1)=(x+1{)}^2(x-1)$. El factor común es $(x+1)$; al simplificarlo queda ${\displaystyle \frac{3x-2}{(x+1)(x-1)}}$, que en $x=1$ da $\left[{\displaystyle \frac{1}{0}}\right]$. Por la izquierda el denominador es negativo, así que $\to -\mathrm{\infty }$, y por la derecha es positivo, así que $\to +\mathrm{\infty }$; los laterales no coinciden, luego el límite no existe.

$\mathbf{\text{2)}}$ Forma $[\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }]$. Con $x^2-9=(x-3)(x+3)$, ponemos común denominador: ${\displaystyle \frac{2x-(x+1)(x+3)}{(x-3)(x+3)}}={\displaystyle \frac{-x^2-2x-3}{(x-3)(x+3)}}$. En $x=3$ es $\left[{\displaystyle \frac{-18}{0}}\right]$; los laterales tienen signos opuestos, así que el límite no existe.

$\mathbf{\text{3)}}$ Forma $[1^{\mathrm{\infty }}]$ (la base $\to {\displaystyle \frac{6}{6}}=1$). Usamos $e^L$ con $L={\lim }_{x\to 1}{\displaystyle \frac{3x}{x-1}}({\displaystyle \frac{2x+4}{x^2-x+6}}-1)={\lim }_{x\to 1}{\displaystyle \frac{3x}{x-1}}\cdot {\displaystyle \frac{-x^2+3x-2}{x^2-x+6}}$. Como $-x^2+3x-2=-(x-1)(x-2)$, se simplifica $(x-1)$: $L={\lim }_{x\to 1}{\displaystyle \frac{3x(-(x-2))}{x^2-x+6}}={\displaystyle \frac{3\cdot 1\cdot 1}{6}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$. Resultado: $e^{1\mathrm{/}2}=\sqrt{e}$.

$\mathbf{\text{4)}}$ Forma $[1^{\mathrm{\infty }}]$ (base $\to {\displaystyle \frac{4}{4}}=1$). $L={\lim }_{x\to 2}{\displaystyle \frac{x}{x-2}}({\displaystyle \frac{3x-2}{x^2-2x+4}}-1)={\lim }_{x\to 2}{\displaystyle \frac{x}{x-2}}\cdot {\displaystyle \frac{-x^2+5x-6}{x^2-2x+4}}$. Con $-x^2+5x-6=-(x-2)(x-3)$ se cancela $(x-2)$: $L={\lim }_{x\to 2}{\displaystyle \frac{x(-(x-3))}{x^2-2x+4}}={\displaystyle \frac{2\cdot 1}{4}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$. Resultado: $e^{1\mathrm{/}2}=\sqrt{e}$.

$\mathbf{\text{5)}}$ Forma $[1^{\mathrm{\infty }}]$ (base $\to {\displaystyle \frac{16}{16}}=1$). $L={\lim }_{x\to 3}{\displaystyle \frac{2x}{x-3}}({\displaystyle \frac{2x^2-x+1}{4x+4}}-1)={\lim }_{x\to 3}{\displaystyle \frac{2x}{x-3}}\cdot {\displaystyle \frac{2x^2-5x-3}{4x+4}}$. Como $2x^2-5x-3=(x-3)(2x+1)$ se cancela $(x-3)$: $L={\lim }_{x\to 3}{\displaystyle \frac{2x(2x+1)}{4x+4}}={\displaystyle \frac{6\cdot 7}{16}}={\displaystyle \frac{42}{16}}={\displaystyle \frac{21}{8}}$. Resultado: $e^{21\mathrm{/}8}$.