Ejercicio resuelto de Cálculo de límites · Matemáticas I

Calcula los siguientes límites (indeterminación ${\displaystyle \frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}}$, donde el límite tiende a $+\mathrm{\infty }$):

1) ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{x}^{-4}}$

2) ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{2}{x^2+1}}+x+2}$

3) ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{x^3}{\sqrt{x^2-4}}}}$

4) ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{x^2-1}{x+1}}}$

5) ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{x^3-x+6}{x^2+3x+2}}}$

6) ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{x^2-1}{x^3+1}}}$

En cocientes de polinomios cuando $x\to +\mathrm{\infty }$ se compara el grado del numerador y del denominador. Si gana el numerador el límite es $\pm \mathrm{\infty }$; si gana el denominador es $0$; si tienen el mismo grado, es el cociente de los coeficientes principales. Para las raíces, el grado efectivo es el del radicando dividido entre el índice.

1) ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{x}^{-4}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{x^4}}=0}$, porque el denominador crece sin tope.

2) ${\displaystyle \frac{2}{x^2+1}}\to 0$ y $x+2\to +\mathrm{\infty }$; por tanto la suma tiende a $+\mathrm{\infty }$.

3) El numerador tiene grado $3$ y la raíz del denominador tiene grado efectivo $1$ (radicando de grado $2$ dividido entre el índice $2$); gana el numerador, así que el límite es $+\mathrm{\infty }$.

4) Grado $2$ arriba frente a grado $1$ abajo: gana el numerador, límite $+\mathrm{\infty }$. (De hecho ${\displaystyle \frac{x^2-1}{x+1}}=x-1\to +\mathrm{\infty }$.)

5) Grado $3$ arriba frente a grado $2$ abajo: gana el numerador, límite $+\mathrm{\infty }$.

6) Grado $2$ arriba frente a grado $3$ abajo: gana el denominador, límite $0$.