Ejercicio resuelto de Cálculo de límites · Matemáticas I

Calcula los siguientes límites (tipo $\left[{\displaystyle \frac{k}{0}}\right]$):

6.1) ${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2+3x+2}{x^2-x}}$

6.2) ${\displaystyle \underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2+5x+6}{x^2-x-2}}$

6.3) ${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2+6x+8}{x^2}}$

6.4) ${\displaystyle \underset{x\to -1}{\lim }\frac{x^2-5x+6}{x^2+2x+1}}$

6.5) ${\displaystyle \underset{x\to 4}{\lim }\frac{x^2-3x+2}{x^2-x-12}}$

6.6) ${\displaystyle \underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^3-4x^2}{x^2-4x+3}}$

En todos estos límites, al sustituir, el numerador no se anula pero el denominador sí: aparece la forma $\left[{\displaystyle \frac{k}{0}}\right]$, con $k\mathrm{\ne }0$. El resultado es $+\mathrm{\infty }$ o $-\mathrm{\infty }$ según el signo, por lo que estudiamos los límites laterales: si difieren, el límite no existe.

$\mathbf{\text{6.1)}}$ Sustituyendo: numerador $0^2+3\cdot 0+2=2$, denominador $0^2-0=0$, forma $\left[{\displaystyle \frac{2}{0}}\right]$. El denominador es $x^2-x=x(x-1)$.

Por la izquierda ($x\to 0^{-}$): $x<0$ y $x-1<0$, su producto es $>0$, así que el cociente (numerador positivo) tiende a $+\mathrm{\infty }$.

Por la derecha ($x\to 0^{+}$): $x>0$ y $x-1<0$, su producto es $<0$, así que tiende a $-\mathrm{\infty }$.

Como los laterales son distintos, el límite no existe.

$\mathbf{\text{6.2)}}$ Sustituyendo: numerador $2^2+5\cdot 2+6=20$, denominador $2^2-2-2=0$, forma $\left[{\displaystyle \frac{20}{0}}\right]$. Factorizamos el denominador: $x^2-x-2=(x-2)(x+1)$.

Por la izquierda ($x\to 2^{-}$): $x-2<0$ y $x+1>0$, producto $<0$, el cociente (numerador positivo) tiende a $-\mathrm{\infty }$.

Por la derecha ($x\to 2^{+}$): $x-2>0$ y $x+1>0$, producto $>0$, tiende a $+\mathrm{\infty }$.

Los laterales difieren, el límite no existe.

$\mathbf{\text{6.3)}}$ Sustituyendo: numerador $0^2+6\cdot 0+8=8$, denominador $0^2=0$, forma $\left[{\displaystyle \frac{8}{0}}\right]$. Aquí el denominador es $x^2$, que es positivo tanto por la izquierda como por la derecha de $0$.

Por tanto, los dos límites laterales valen $+\mathrm{\infty }$ y el límite es $+\mathrm{\infty }$.

$\mathbf{\text{6.4)}}$ Sustituyendo en $x=-1$: numerador $(-1{)}^2-5\cdot (-1)+6=1+5+6=12$, denominador $(-1{)}^2+2\cdot (-1)+1=0$, forma $\left[{\displaystyle \frac{12}{0}}\right]$. El denominador es $x^2+2x+1=(x+1{)}^2$, que es positivo a ambos lados de $-1$.

Como el numerador es positivo y el denominador positivo, los dos laterales valen $+\mathrm{\infty }$ y el límite es $+\mathrm{\infty }$.

$\mathbf{\text{6.5)}}$ Sustituyendo en $x=4$: numerador $4^2-3\cdot 4+2=16-12+2=6$, denominador $4^2-4-12=0$, forma $\left[{\displaystyle \frac{6}{0}}\right]$. Factorizamos: $x^2-x-12=(x-4)(x+3)$.

Por la izquierda ($x\to 4^{-}$): $x-4<0$ y $x+3>0$, producto $<0$, tiende a $-\mathrm{\infty }$.

Por la derecha ($x\to 4^{+}$): $x-4>0$ y $x+3>0$, producto $>0$, tiende a $+\mathrm{\infty }$.

Los laterales difieren, el límite no existe.

$\mathbf{\text{6.6)}}$ Sustituyendo en $x=1$: numerador $1^3-4\cdot 1^2=1-4=-3$, denominador $1^2-4\cdot 1+3=0$, forma $\left[{\displaystyle \frac{-3}{0}}\right]$. Factorizamos el denominador: $x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$.

Por la izquierda ($x\to 1^{-}$): $x-1<0$ y $x-3<0$, producto $>0$; con numerador negativo, el cociente tiende a $-\mathrm{\infty }$.

Por la derecha ($x\to 1^{+}$): $x-1>0$ y $x-3<0$, producto $<0$; con numerador negativo, tiende a $+\mathrm{\infty }$.

Los laterales difieren, el límite no existe.