Ejercicio resuelto de Cálculo de límites · Matemáticas I

Calcula el límite de la siguiente función en el punto $x=3$ y estudia su comportamiento por la izquierda y por la derecha:

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{x-3}}$

La función no está definida en $x=3$, ya que el denominador se anula:

$x-3=0\Rightarrow x=3$

Calculamos los límites laterales.

$\mathbf{\text{Por}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{izquierda}}(x\to 3^{-})$: tomamos valores algo menores que $3$, así $x-3$ es un número negativo muy pequeño y su inverso es un negativo muy grande.

${\lim }_{x\to 3^{-}}{\displaystyle \frac{1}{x-3}}=-\mathrm{\infty }$

$\mathbf{\text{Por}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{derecha}}(x\to 3^{+})$: tomamos valores algo mayores que $3$, así $x-3$ es un número positivo muy pequeño y su inverso es un positivo muy grande.

${\lim }_{x\to 3^{+}}{\displaystyle \frac{1}{x-3}}=+\mathrm{\infty }$

Como los límites laterales son infinitos y de distinto signo, $\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{existe}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{mite}}$ en $x=3$. La recta $x=3$ es una $\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ntota}}\mathbf{\text{vertical}}$ de la función.

Además, al alejarnos hacia $\pm \mathrm{\infty }$ el denominador crece sin límite, por lo que:

${\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{x-3}}=0$

de modo que la recta $y=0$ es una $\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ntota}}\mathbf{\text{horizontal}}$. La gráfica resume este comportamiento: