Ejercicio resuelto de Cálculo de límites · Matemáticas I

Calcular las asíntotas horizontales de estas funciones y representa los resultados que obtengas:

a) $f(x)={\displaystyle \frac{2x^2+1}{x^2+1}}$

b) $f(x)={\displaystyle \frac{x+1}{2x^2+2}}$

Una asíntota horizontal $y=L$ aparece cuando ${\displaystyle \underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=L}$ es un número finito. En cocientes de polinomios basta comparar los grados del numerador y del denominador.

$\mathbf{\text{a)}}f(x)={\displaystyle \frac{2x^2+1}{x^2+1}}$

El numerador y el denominador tienen el mismo grado (grado 2), así que el límite es el cociente de los coeficientes principales:

${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{2x^2+1}{x^2+1}}={\displaystyle \frac{2}{1}}=2}$

${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{2x^2+1}{x^2+1}}=2}$

Por tanto hay una asíntota horizontal $y=2$ (la misma a ambos lados).

Para ver la posición de la curva respecto a la asíntota estudiamos el signo de $f(x)-2$:

$f(x)-2={\displaystyle \frac{2x^2+1}{x^2+1}}-2={\displaystyle \frac{2x^2+1-2(x^2+1)}{x^2+1}}={\displaystyle \frac{-1}{x^2+1}}<0$

Como $f(x)-2<0$ para todo $x$, la curva queda siempre por debajo de $y=2$ y se acerca a ella por debajo tanto en $+\mathrm{\infty }$ como en $-\mathrm{\infty }$ (por ejemplo $f(100)={\displaystyle \frac{20001}{10001}}\approx \mathrm{1,9999}$).



$\mathbf{\text{b)}}f(x)={\displaystyle \frac{x+1}{2x^2+2}}$

El grado del denominador (grado 2) es mayor que el del numerador (grado 1), así que el cociente tiende a $0$:

${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{x+1}{2x^2+2}}=0}$

${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{x+1}{2x^2+2}}=0}$

Por tanto hay una asíntota horizontal $y=0$ (el eje $OX$).

Para la posición miramos el signo de $f(x)$ cerca de los extremos. El denominador $2x^2+2$ es siempre positivo, así que el signo lo da el numerador $x+1$:

$f(100)={\displaystyle \frac{101}{20002}}\approx \mathrm{0,005}>0$, luego cuando $x\to +\mathrm{\infty }$ la curva se acerca a $y=0$ por encima.

$f(-100)={\displaystyle \frac{-99}{20002}}\approx -\mathrm{0,005}<0$, luego cuando $x\to -\mathrm{\infty }$ la curva se acerca a $y=0$ por debajo.