Ejercicio resuelto de Cálculo de límites · Matemáticas I

Calcula los siguientes límites (indeterminación ${\displaystyle \frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}}$, donde el límite tiende a $-\mathrm{\infty }$):

1) ${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^x}$

2) ${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{5x^3-3x^2+6}{-2x^3+9x^2}}}$

3) ${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{-2x^2-5}{3x^2-8x}}}$

4) ${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{\sqrt{x^2+x}}{x}}}$

5) ${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{5x-3}{\sqrt{9x^2+3x-1}}}}$

Comparamos los grados del numerador y del denominador, pero ahora $x\to -\mathrm{\infty }$. Cuando hay raíces hay que tener cuidado con los signos: si $x<0$, entonces $\sqrt{x^2}=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=-x$. Un truco cómodo es escribir $x=-t$ con $t\to +\mathrm{\infty }$ (así $t>0$ y las raíces se manejan sin signos).

1) ${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^x}$. Es una exponencial de base ${\displaystyle \frac{3}{2}}>1$. Cuando el exponente $x\to -\mathrm{\infty }$, ${\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^x\to 0$.

2) ${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{5x^3-3x^2+6}{-2x^3+9x^2}}}$. Mismo grado $3$, cociente de coeficientes principales: ${\displaystyle \frac{5}{-2}}=-{\displaystyle \frac{5}{2}}$.

3) ${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{-2x^2-5}{3x^2-8x}}}$. Mismo grado $2$, cociente de coeficientes principales: ${\displaystyle \frac{-2}{3}}$.

4) ${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{\sqrt{x^2+x}}{x}}}$. Hacemos $x=-t$ con $t\to +\mathrm{\infty }$:
${\displaystyle \frac{\sqrt{(-t{)}^2+(-t)}}{-t}}={\displaystyle \frac{\sqrt{t^2-t}}{-t}}={\displaystyle \frac{t\sqrt{1-\frac{1}{t}}}{-t}}=-\sqrt{1-{\displaystyle \frac{1}{t}}}$.
Cuando $t\to +\mathrm{\infty }$, ${\displaystyle \frac{1}{t}}\to 0$, luego el límite es $-\sqrt{1}=-1$.

5) ${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{5x-3}{\sqrt{9x^2+3x-1}}}}$. Hacemos $x=-t$ con $t\to +\mathrm{\infty }$:
${\displaystyle \frac{5(-t)-3}{\sqrt{9(-t{)}^2+3(-t)-1}}}={\displaystyle \frac{-5t-3}{\sqrt{9t^2-3t-1}}}$.
El numerador se comporta como $-5t$ y el denominador como $\sqrt{9t^2}=3t$, así que el cociente tiende a:
${\displaystyle \frac{-5t}{3t}}=-{\displaystyle \frac{5}{3}}$.