Ejercicio resuelto de Cálculo de límites · Matemáticas I

Calcula los siguientes límites (varias indeterminaciones):

1) ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\left(\frac{4x^2-7}{3x^2+9x}\right)}^x}$

2) ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\left(\frac{x^2+1}{x^2-2}\right)}^{2x}}$

3) ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }[\sqrt{x^2-3x}-\sqrt{x^2-1}]}$

4) ${\displaystyle \underset{x\to 3}{\lim }\frac{x-3}{x^3-5x^2+3x+9}}$

5) ${\displaystyle \underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^3-x}{x^2-2x+1}}$

Recordamos las herramientas: para la indeterminación $\left[{\displaystyle \frac{0}{0}}\right]$ factorizamos y simplificamos; para $[\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }]$ con cocientes operamos con común denominador (o multiplicamos por el conjugado en las raíces); y para $[1^{\mathrm{\infty }}]$ usamos $\lim f^g=e^{\lim g(f-1)}$.

$\mathbf{\text{1)}}$ Estudiamos primero la base dividiendo numerador y denominador entre $x^2$: ${\displaystyle \frac{4x^2-7}{3x^2+9x}}={\displaystyle \frac{4-7\mathrm{/}{x}^2}{3+9\mathrm{/}x}}\to {\displaystyle \frac{4}{3}}>1$. El exponente es $x\to +\mathrm{\infty }$. No hay indeterminación: una base que tiende a un valor mayor que $1$ elevada a $+\mathrm{\infty }$ tiende a $+\mathrm{\infty }$. Resultado: $+\mathrm{\infty }$.

$\mathbf{\text{2)}}$ Forma $[1^{\mathrm{\infty }}]$ (base $\to 1$). $L={\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}2x({\displaystyle \frac{x^2+1}{x^2-2}}-1)={\lim }_{x\to \mathrm{\infty }}2x\cdot {\displaystyle \frac{3}{x^2-2}}=0$ (grado del numerador $1$ menor que el del denominador $2$). Resultado: $e^0=1$.

$\mathbf{\text{3)}}$ Forma $[\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }]$. Multiplicamos y dividimos por el conjugado: ${\displaystyle \frac{(x^2-3x)-(x^2-1)}{\sqrt{x^2-3x}+\sqrt{x^2-1}}}={\displaystyle \frac{-3x+1}{\sqrt{x^2-3x}+\sqrt{x^2-1}}}$. Dividiendo entre $x$ (con $x>0$, $\sqrt{x^2}=x$): ${\displaystyle \frac{-3+1\mathrm{/}x}{\sqrt{1-3\mathrm{/}x}+\sqrt{1-1\mathrm{/}x}}}\to {\displaystyle \frac{-3}{1+1}}={\displaystyle \frac{-3}{2}}$. Resultado: $-{\displaystyle \frac{3}{2}}$.

$\mathbf{\text{4)}}$ Forma $\left[{\displaystyle \frac{0}{0}}\right]$. Factorizamos $x^3-5x^2+3x+9=(x-3{)}^2(x+1)$, luego ${\displaystyle \frac{x-3}{(x-3{)}^2(x+1)}}={\displaystyle \frac{1}{(x-3)(x+1)}}$, que en $x=3$ da $\left[{\displaystyle \frac{1}{0}}\right]$ con laterales de distinto signo. El límite no existe.

$\mathbf{\text{5)}}$ Forma $\left[{\displaystyle \frac{0}{0}}\right]$. Factorizamos: $x^3-x=x(x-1)(x+1)$ y $x^2-2x+1=(x-1{)}^2$. Simplificando un $(x-1)$ queda ${\displaystyle \frac{x(x+1)}{x-1}}$, que en $x=1$ da $\left[{\displaystyle \frac{2}{0}}\right]$ con laterales opuestos. El límite no existe.