Ejercicio resuelto de Cálculo de límites · Matemáticas I

Calcula los siguientes límites (indeterminación ${\displaystyle \frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}}$, donde el límite tiende a $+\mathrm{\infty }$):

1) ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(\sqrt{18x^2+1}-\sqrt{32x^2-3})}$

2) ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^x}$

3) ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{x^3-5}{-x^2-4}}}$

4) ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{4x^3-2}{-4x^2-2}}}$

5) ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{\sqrt{x^2+2x-6}}{-4x^2-2}}}$

6) ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{\sqrt{x^2-x}}{x}}}$

En cocientes de polinomios cuando $x\to +\mathrm{\infty }$ se compara el grado del numerador y del denominador. Si gana el numerador el límite es $\pm \mathrm{\infty }$; si gana el denominador es $0$; si tienen el mismo grado, es el cociente de los coeficientes principales. Para las raíces, el grado efectivo es el del radicando dividido entre el índice.

1) Es una indeterminación $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$. Multiplicamos y dividimos por el conjugado:

$\sqrt{18x^2+1}-\sqrt{32x^2-3}={\displaystyle \frac{(18x^2+1)-(32x^2-3)}{\sqrt{18x^2+1}+\sqrt{32x^2-3}}}={\displaystyle \frac{-14x^2+4}{\sqrt{18x^2+1}+\sqrt{32x^2-3}}}$

El numerador tiene grado $2$ (con coeficiente principal negativo) y el denominador grado efectivo $1$: gana el numerador, así que el límite es $-\mathrm{\infty }$. Se ve también comparando los términos dominantes: $\sqrt{18x^2+1}\approx \sqrt{18}x$ y $\sqrt{32x^2-3}\approx \sqrt{32}x$, luego la diferencia se comporta como $(\sqrt{18}-\sqrt{32})x$, y como $\sqrt{18}<\sqrt{32}$ el coeficiente es negativo y el límite es $-\mathrm{\infty }$.

2) Como $0<{\displaystyle \frac{2}{3}}<1$, la potencia ${\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^x\to 0$.

3) Grado $3$ arriba y grado $2$ abajo; gana el numerador. Como el coeficiente principal del numerador es positivo y el del denominador negativo, el límite es $-\mathrm{\infty }$.

4) Grado $3$ arriba y grado $2$ abajo: gana el numerador. Coeficiente principal $+4$ arriba y $-4$ abajo, así que el límite es $-\mathrm{\infty }$.

5) La raíz del numerador tiene grado efectivo $1$ y el denominador grado $2$: gana el denominador, límite $0$.

6) En ${\displaystyle \frac{\sqrt{x^2-x}}{x}}$ metemos la $x$ dentro de la raíz como $x^2$: ${\displaystyle \frac{\sqrt{x^2-x}}{x}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{x^2-x}{x^2}}}=\sqrt{1-{\displaystyle \frac{1}{x}}}\to \sqrt{1}=1$.