Ejercicio resuelto de Cálculo de límites · Matemáticas I

Calcula los siguientes límites (indeterminación ${\displaystyle \frac{0}{0}}$):

1) ${\displaystyle \underset{x\to 2}{\lim }{\displaystyle \frac{x^2+x-6}{x^2-x-2}}}$

2) ${\displaystyle \underset{x\to 3}{\lim }{\displaystyle \frac{x^2-6x+9}{x-3}}}$

3) ${\displaystyle \underset{x\to 1}{\lim }{\displaystyle \frac{x^2-1}{x^3-1}}}$

4) ${\displaystyle \underset{x\to -2}{\lim }{\displaystyle \frac{x^2-x-6}{x^3+3x^2+2x}}}$

5) ${\displaystyle \underset{x\to 1}{\lim }\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{2x^3-3x^2+1}{3x^3-8x^2+7x-2}}}}$

En la indeterminación ${\displaystyle \frac{0}{0}}$ con polinomios se factoriza y se simplifica el factor $(x-a)$ que se anula; con raíces se multiplica por el conjugado.

1) ${\displaystyle \frac{x^2+x-6}{x^2-x-2}}={\displaystyle \frac{(x-2)(x+3)}{(x-2)(x+1)}}={\displaystyle \frac{x+3}{x+1}}\to {\displaystyle \frac{5}{3}}$.

2) ${\displaystyle \frac{x^2-6x+9}{x-3}}={\displaystyle \frac{(x-3{)}^2}{x-3}}=x-3\to 0$.

3) ${\displaystyle \frac{x^2-1}{x^3-1}}={\displaystyle \frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x^2+x+1)}}={\displaystyle \frac{x+1}{x^2+x+1}}\to {\displaystyle \frac{2}{3}}$.

4) ${\displaystyle \frac{x^2-x-6}{x^3+3x^2+2x}}={\displaystyle \frac{(x-3)(x+2)}{x(x+1)(x+2)}}={\displaystyle \frac{x-3}{x(x+1)}}\to {\displaystyle \frac{-5}{(-2)(-1)}}=-{\displaystyle \frac{5}{2}}$.

5) Dentro de la raíz factorizamos: numerador $2x^3-3x^2+1=(x-1)(2x^2-x-1)=(x-1{)}^2(2x+1)$; denominador $3x^3-8x^2+7x-2=(x-1{)}^2(3x-2)$. El cociente es ${\displaystyle \frac{2x+1}{3x-2}}\to {\displaystyle \frac{3}{1}}=3$, y la raíz cúbica da $\sqrt[3]{3}$.