Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · 2024

C4. En una estatua de madera nos se ha encontrado que la proporción de carbono-14 es el 91 % de la que tendría la madera fresca. Sabiendo que el periodo de semidesintegración (o semiperiodo) del carbono-14 es 5730 años, determinar la edad de la estatua. (1 punto)

$\mathbf{\text{C4.}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{estatua}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{madera}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{encontrado}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{proporci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{carbono-14}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{91}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{tendr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{madera}}\mathbf{\text{fresca.}}\mathbf{\text{Sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{periodo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{semidesintegraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{carbono-14}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{5730}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os,}}\mathbf{\text{determinar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{edad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{estatua.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

La cantidad de ${}^{14}\text{C}$ de una muestra disminuye con el tiempo siguiendo la ley de la desintegración radiactiva:

$N=N_0{e}^{-\lambda t}$

Relacionamos primero la constante de desintegración con el periodo de semidesintegración, que es el tiempo en que la cantidad se reduce a la mitad. Sustituyendo $N=N_0\mathrm{/}2$:

${\displaystyle \frac{N_0}{2}}=N_0{e}^{-\lambda T_{1\mathrm{/}2}}\Rightarrow \lambda ={\displaystyle \frac{\ln 2}{T_{1\mathrm{/}2}}}$

$\lambda ={\displaystyle \frac{\ln 2}{5730}}=\mathrm{1,21}\cdot {10}^{-4}{\text{a}\tilde{\text{n}}\text{os}}^{-1}$










El enunciado da la proporción que queda respecto de la madera fresca, $N\mathrm{/}{N}_0=\mathrm{0,91}$. Tomamos logaritmos neperianos en la ley de desintegración y despejamos el tiempo:

$t=-{\displaystyle \frac{1}{\lambda }}\ln {\displaystyle \frac{N}{N_0}}$





Sustituimos:

$t=-{\displaystyle \frac{\ln (\mathrm{0,91})}{\mathrm{1,21}\cdot {10}^{-4}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,0943}}{\mathrm{1,21}\cdot {10}^{-4}}}=780\text{a}\tilde{\text{n}}\text{os}$

La estatua tiene unos $780\text{a}\tilde{\text{n}}\text{os}$. El resultado es coherente: como solo se ha desintegrado un $9\mathrm{\%}$ del carbono-14, el tiempo transcurrido tiene que ser muy inferior a un semiperiodo, y en efecto $780$ años son apenas la séptima parte de los $5730$ que harían falta para reducir la muestra a la mitad.